Cómo demostrar la propiedad de la función de transferencia para un sistema LTI causal

Question

Para causal sistemas lineales invariantes en el tiempo el grado del denominador debe ser mayor o igual que el grado del denominador.

¿Cómo se puede demostrar esto con rigor?

Answer 1

Intenté decir esto en mi comentario anterior al imponer la causalidad, implicas realizabilidad, por lo que no puede haber función de transferencia impropia. Y la prueba "rigurosa":

• para una implementación pasiva siempre habrá una impedancia de E/S por lo tanto, habrá un polo para cada cero;
• para implementaciones activas los opamps (o cualquier elemento activo) traerán sus propios polos en juego, junto con las resistencias inherentes para la red;
• para digital existe Nyquist.

OTOH, si quieres mantenerlo teórico, puedes incluso tener \$s^n\$ y nadie puede detenerte, ni siquiera el papel en el que escribes. Puedes tener tantos Diracs, todos nulos ante \$t=0\$ y todo funcionará. Pero sólo sobre el papel. De lo contrario, la aceleración podría determinarse fácilmente mediante un diferenciador doble pero, en la práctica, no imponer un ancho de banda traerá problemas. Así que la verdadera razón para que la función de transferencia sea adecuada es la realidad.