Demuestra que la preimagen de un ideal primo también es primo.

Question

Sea $f: R \rightarrow S$ un homomorfismo de anillos, con $R$ y $S$ conmutativos y $f(1)=1$. Si $P$ es un ideal primo de $S$, muestra que la preimagen $f^{-1}(P)$ es un ideal primo de $R$.

Define $g: S \rightarrow S/P$ con núcleo $s$. Sea $h = g \circ f: R \rightarrow S/P$. Dado que $h$ es un homomorfismo de anillos, el núcleo es un ideal de $R$. Además, por el primer teorema de isomorfía, sabemos que $R/\ker(h) \cong S/P$. Dado que $P$ es un ideal primo de $S$, sabemos que $S/P$ es un dominio de integridad. Dado que $R/\ker(h)$ es isomorfo a $S/P$, también debe ser un dominio de integridad, lo cual implica que el núcleo de $h$ (que es la preimagen de $P$) es un ideal primo de $R$.

¿Crees que mi respuesta es correcta? La razón por la que estaba un poco escéptico de mi respuesta es porque no utilicé el hecho de que $R$ y $S$ son conmutativos. Así que me pregunto si me he perdido algo $\dots$

Gracias de antemano.

Answer 1

Quiero señalar que hay una manera mucho más fácil de hacer esto: sea $f\colon R\rightarrow S$ un homomorfismo de anillos y sean $x,y\in R$ tales que $xy\in f^{-1}(P)$. Entonces $f(x)f(y)=f(xy)\in P\implies f(x)\in P$ o $f(y)\in P$, ya que $P$ es primo, es decir $x\in f^{-1}(P)$ o $y\in f^{-1}(P)$ y hemos terminado.

Answer 2

Lo que has hecho es correcto. La definición de ideales primos en anillos conmutativos se basa en la conmutatividad.

Para un anillo no conmutativo $R$, tenemos una definición diferente, y decimos que $P$ es un ideal primo si cuando el producto de dos ideales $IJ\subset P$, entonces o bien $I\subset P$ o $J\subset P.

Answer 3

Lo siento por desenterrar esta antigua pregunta, pero hay un pequeño error en tu demostración. Tu afirmación $R/\ker(h) \cong S/P$ es incorrecta; en realidad, $R/\ker(h) \cong h(R) \subseteq S/P$ donde $h(R)$ es un subanillo de $S/P. Sin embargo, la demostración se salva al darse cuenta de que un subanillo de un dominio integral también es un dominio integral.

Answer 4

Vale la pena mencionar que la respuesta (o en cierto sentido, ¡la pregunta misma!) no es tan completa como sea posible. La pregunta asume que $\varphi(1) = 1$, asumiendo que ambos anillos tienen una identidad multiplicativa, y en este caso, $\varphi^{-1}(P)$ es de hecho un ideal primo. Sin embargo, no siempre es este el caso.

Por ejemplo, sea $P \subset R$ anillos y considera el homomorfismo de inclusión $id : P \to R$. En este caso, $id^{-1}(P) = P$, que no es un ideal primo de $P$ (Por definición de ideal primo). Por lo tanto, sería mejor que la pregunta se formulara de la siguiente manera:

Demuestra que si $P$ es un ideal primo de $S$, entonces o bien $\varphi^{-1}(P) = R$ o $\varphi^{-1}(P)$ es un ideal primo de $R$.