¿Características de una gaussiana en escala logarítmica?

Question

Tengo datos modelados con una distribución gaussiana y mostrados en una escala logarítmica, y me gustaría conocer algunas propiedades de los datos mostrados.

Efectivamente, ignoro que una gaussiana $X$ (con media positiva) pueden ser negativas y necesitan media, desviación típica y anchura máxima a la mitad de $\log X$ . Desgraciadamente, la densidad de probabilidad es lo suficientemente fea como para impedirme calcularla yo mismo. ¿Tiene esta distribución un nombre especial que pueda buscar?

Answer 1

No, no tiene un nombre estándar. Por analogía con la distribución lognormal, podría denominarse "exponencial-normal". Pero la analogía es imperfecta, porque hay que truncar la parte normal en cero.

Las integrales para calcular los momentos (o, lo que es lo mismo, la función característica) no tienen formas cerradas. Tendrás que calcularlas numéricamente. Se obtienen integrando

$\frac{1}{\sqrt{2 \pi } \sigma } x^k e^{x-\frac{\left(e^x-\mu \right)^2}{2 \sigma ^2}} dx$

sobre toda la línea real. (Esto viene de la pdf para una distribución Normal de $y$ con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ y sustituyendo $y = exp(x)$ .) $k = 1$ da la media; $k = 2$ da el segundo momento; si se le resta el cuadrado de la media, se obtiene la varianza; y la raíz cuadrada de la varianza es la desviación típica. Para hallar la anchura a la mitad del máximo también se necesitan métodos numéricos (pero la convergencia debería ser rápida).

Answer 2

Puedes calcular la distribución utilizando el teorema de transformación. Si tienes una densidad normal truncada en valores positivos, el logaritmo de esa distribución tiene PDF

$\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \exp(x -\exp(2x)/2)$