Una función continua definida en un intervalo puede tener un valor de la media. ¿Qué pasa con una mediana?

Question

Una función puede tener un valor promedio

$$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)dx$$

Puede una función continua tiene una mediana?

¿Como se calcula?

Answer 1

Que sería de $y$, de modo que los subconjuntos de a $[a,b]$

$\{x \in [a,b] \ | \ f(x) \le y\}$ $\{x \in [a,b] \ | \ f(x) \ge y\}$

tienen la misma medida (con un poco de cuidado).

Obs: si $f$ es monótono va a ser $f(\frac{a+b}{2})$.

Answer 2

Seguro. La mediana de la $m$ de un conjunto de números de $\{x_1,...,x_n\}$$x$, de modo que $x_i\leq x$ para la mitad de la $i$ e lo contrario $x_i\geq x$-ignorando los detalles acerca de la $n$ ser pares o impares. Así, por simplicidad supongamos $f:[0,1]\to \mathbf{R}$ es continua. A continuación, vamos a definir de forma análoga a la mediana de $f$ $m$ que "$f$ está por debajo de $m$ la mitad del tiempo y por encima de $m$ la mitad del tiempo," más precisamente, de tal manera que la longitud de $\{x:f(x)\leq m\}=1/2$, y del mismo modo para $\{f(x)\geq m\}$. (Aquí tenemos el convenio que hemos dividido $\{f(x)=m\}$ a partes iguales para cada mitad, para el manejo de casos especiales como $f\equiv m$.)

Para calcular esto, necesitamos una función de $g$ asociado a $f$. Es decir, tomar $g(y)$ a ser la longitud de la $\{x:f(x)\leq y\}$. Ahora $g$ no es necesariamente continua: si, por ejemplo, $f$ es constante en $m$ como es arriba, a continuación, $g(y)=0,y<m, 1\text{ otherwise.}$ Pero es "superior continua", es decir, $\lim_{y'\to y^+} g(y')=g(y)$. Voy a evitar discutir esto en detalle-el punto es, en esencia, que si $f(x)\leq y+\epsilon$ por cada $\epsilon$$f(x)\leq y$. Desde $g$ es superior continua, si definimos $m=\inf\{y:g(y)\geq 1/2\}$ entonces vamos a ser garantizados $g(m)\geq 1/2$, y podemos definir $m$ como mediana.

Así que, esto es mucho más difícil que la definición de la media, sí? Todavía hay algunos problemas que no han funcionado: es $g$ aún bien definidos? $\{x:f(x)\leq y\}$ podría ser una muy extraño set-¿cómo podemos medir su longitud? Para esto, tenemos que aplazar a un nivel mucho más avanzado el tema de los cálculos, que se llama teoría de la medida. Sin embargo, si $f$ es creciente, a continuación, $\{x:f(x)\leq y\}$ sólo será un intervalo, y así podemos, en principio, calcular $g$ sin ningún conocimiento de lujo.

Así que vamos a intentar un ejemplo o dos. Para $f(x)=x,$ obtenemos $g=f$$m=1/2$, igual a la de los medios: "esto muestra que las funciones lineales son la continua analógica de las distribuciones que no están sesgados, que en el caso finito son los únicos que tienen la misma mediana como media. Cómo acerca de $f(x)=x^2$? Llegamos $g(y)=\sqrt y$, lo $m=1/4$. Pero la media de $x^2$$1/3$, por lo que vemos a $x^2$ está "sesgada a la derecha-"como se puede ver a partir de su gráfico! En general, si $f$ es estrictamente creciente y $f(0)=0$, como ocurrió aquí llegaremos $g=f^{-1}$, por lo que será posible calcular la mediana como $f^{-1}(1/2)$. Usted puede trabajar declaraciones similares si $f(0)\neq 0$, pero a alejarse de la creciente caso de que las cosas se hagan cada vez más sutiles.

Answer 3

Seguro que una función continua puede tener una mediana, en cuanto a si él siempre tiene un medio estoy seguro de.

Supongamos que tenemos una cierta función $f$ es continua en a $[a,b]$. Queremos encontrar a su mediana $m$. Sabemos que si $m$ es un medio que si tomamos cualquier valor de $c \in [a,b] $ al azar, a continuación, el $P(c \leq m) = $$P(c \geq m) = 1/2 $. Ahora bien, si queremos construir una función que necesitamos para "normalizar" en un sentido.

Así que vamos a decir nosotros tomamos la integral de $f$ $[a,b]$ y es igual a $S$.

$\int_a^b f(x)dx = S$

Ahora vamos a $=g(x) = \frac{1}{S}f(x)$, de modo que tenemos

$\int_a^bg(x)dx = 1$.

Ahora bien, si queremos encontrar la mediana de $g(x)$ y, por tanto, $f(x)$ sólo necesitamos encontrar una $m$ tal que

$\int_a^mg(x)dx = 1/2$

Answer 4

Deje $X$ ser una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo de $[a,b]$. Si $f : [a,b] \to \mathbb R$ es un (Borel) medibles de la función, a continuación, $Y = f(X)$ es también una variable aleatoria y su distribución puede ser caracterizado por todos los habituales propiedades estadísticas, tales como la media y la mediana.

En particular, la media de la función $f$, tal como se define en su pregunta, que corresponde exactamente a la media de la variable aleatoria $Y$, dado por la ley de la inconsciente estadístico.

Del mismo modo, nosotros, naturalmente, puede definir la mediana de la función $f$ a la mediana de la correspondiente variable aleatoria $Y$, es decir, un valor de $m$ tal que $\mathrm{Pr}(Y \ge m) \ge \frac12$$\mathrm{Pr}(Y \le m) \ge \frac12$.

En particular, desde la $\mathrm{Pr}(Y \ge m) = \frac{1}{b-a}\mu(\{x \in [a,b]: f(x) \ge m\})$ donde $\mu(S) = \int_S 1\, dx$ indica la medida del conjunto $S$, y a la inversa para $\mathrm{Pr}(Y \le m)$, se deduce que la mediana de las $m$ $Y$ (y por tanto de $f$) es simplemente el valor tal que la gráfica de $f$ se encuentra en o por debajo de $m$ para la mitad del intervalo de $[a,b]$, y en o por encima de $m$ para la otra mitad.

(La mediana, como se definió anteriormente, no puede ser único si $f$ no es continua. Sin embargo, si hay varios valores de $m$ que satisfacen la definición de arriba, a continuación, van a formar un solo intervalo. En este sentido, la situación no es diferente de la de la mediana de una distribución de probabilidad en general).