Encuentre $a_n$ dado $a_1=1$ y $a_{n+1} =a_n/4+3/4$

Question

Se define la sucesión de números racionales $a_1,a_2,a_3,...$ . Sea $a_1=1$ y $a_{n+1}=a_n/4+3/4$ . Cuáles son las cifras $a_1,a_2,a_3,...$ ?

Lo que he hecho:

$a_1=1$

para $n=1$ tenemos $a_{n+1}=a_2=a_1/4+3/4=1$

para $n=2$ tenemos $a_{n+1}=a_3=a_2/4+3/4=1$

Por lo tanto, la secuencia está formada por los números $1,1,1,...$

Tengo dos preguntas.

1) ¿Es correcto o estoy malinterpretando algo?

2) ¿Cómo puedo encontrar $a_n$ ?

Answer 1

Reclamación para cada $n \in \mathbb{N}$ tenemos: $a_n=1$ .
Prueba por inducción supongamos que la afirmación se cumple para $k=n$ ; es decir $a_n=1$ entonces se puede ver que $$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1;$$ por lo que la afirmación también es válida para $k=n+1$ .

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Sea $A \in \mathbb{R}$ sea arbitrario, y que $a_1=A$ ;

Reclamación para cada $n \in \mathbb{N}$ tenemos: $a_n=\dfrac{A-1}{4^{n-1}}+1$ .
Prueba por inducción supongamos que la afirmación se cumple para $k=n$ ; es decir $a_n=\dfrac{A-1}{4^{n-1}}+1$ entonces se puede ver que $$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\dfrac{A-1}{4^{n-1}}+1}{4}+\dfrac{3}{4}= \dfrac{A-1}{4^{n}}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4} = \dfrac{A-1}{4^{n}}+1 ;$$ por lo que la afirmación también es válida para $k=n+1$ .

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Segunda prueba : Definamos $b_n=a_n-1$ por lo que obtenemos la segunda secuencia de la siguiente manera:

$$b_0=A-1 \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ b_n=\dfrac{b_n}{4} ;$$

se puede ver fácilmente que $b_n=\dfrac{A-1}{4^{n-1}}$ , por lo que podemos concluir $a_n=\dfrac{A-1}{4^{n-1}}+1$ .

Answer 2

Para encontrar $a_n$ exprese la ecuación de recurrencia dada como: $$a_{n+1}-1=\frac{1}{4}(a_n-1), a_1=1$$ Denota $b_n=a_n-1, b_1=a_1-1=0$ resulta en: $$b_{n+1}=\frac14b_n \Rightarrow b_n=b_1\cdot \left(\frac14\right)^{n-1}=0.$$ Por lo tanto: $$0=b_n=a_n-1 \Rightarrow a_n=1.$$

Answer 3

Tiene razón: tenemos $a_n=1$ para todos $n$ . Puedes demostrar este resultado por inducción.

Answer 4

Anteriormente he desarrollado una solución general para todos problemas del tipo $a_n=Aa_{n-1}+B$ como se muestra ici . Esta solución es un poco más complicada que las otras preferidas aquí, pero de nuevo, se aplica a cualquier tal problema y el trabajo ya está hecho. Se ha demostrado que la solución es

$$a_n=\frac{[(A-1)a_0+B]A^n-B}{A-1}$$

y se puede demostrar fácilmente que $a_n=1 ~\forall ~n$ en el presente caso.