He intentado demostrar que $\binom{n}{2k+1}=\sum_{i=k+1}^{n-k}\binom{i-1}{k}\binom{n-i}{k}$ mediante pruebas combinatorias.
El LHS es el número de vectores binarios de tamaño $n$ con $2k+1$ ceros. No encuentro ninguna explicación sobre el lado derecho.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
dorian stonehouse
Puntos
11
Consideremos un vector binario de tamaño $n$ con $2k+1$ ceros. La dirección $(k+1)$ 'th cero puede ocurrir en cualquier lugar entre el $k+1$ y $n-k$ posiciones, de ahí la suma.
Que el $k$ 'th cero estar en el $i$ posición. Los dos factores $\binom{i-1}k$ y $\binom{n-i}k$ respectivamente denota cuántas maneras de asignar $k$ ceros antes y después del $k$ 'th cero. El $k$ los ceros anteriores y posteriores al cero central pueden disponerse independientemente, de ahí el producto.
El lado derecho surge al considerar el "cero del medio" en su vector y, a continuación, contar el número de formas en que podrían distribuirse los k ceros de la izquierda y los k ceros de la derecha.
En concreto, el índice i es la posición del (k+1)º cero en su vector. Obviamente, lo más pronto que esto puede ocurrir es la (k+1)ª posición del vector en su conjunto. Lo más tarde que puede ocurrir es en la posición n-k, porque debe haber k ceros a su derecha. Esto explica los límites de la suma.
El sumando es el número de formas en que pueden aparecer los k primeros ceros en el vector, dado que el (k+1)º está en la posición i-ésima, multiplicado por el número de formas en que pueden aparecer los k últimos ceros.
