¿Son interesantes las categorías concretas cuyas flechas no conservan toda la estructura?

Question

Considere los siguientes ejemplos.

1. La categoría cuyos objetos son los anillos con unidad, y cuyas flechas son precisamente los homomorfismos de anillos (de modo que, en particular, las flechas no necesitan preservar la unidad).

2. Categoría cuyos objetos son celosías acotadas y cuyas flechas son precisamente los homomorfismos de celosía (de modo que, en particular, no es necesario que las flechas preserven la superioridad o la inferioridad).

¿Son interesantes las categorías concretas como éstas (cuyas flechas no conservan toda la estructura)?

Answer 1

A veces ocurre -por accidente- debido a un fenómeno conocido como "estructura similar a una propiedad". Por ejemplo, es un hecho que cada semilattice de reunión completa es también un semilattice de unión completa (por lo tanto, un lattice completo) de una manera única, por lo que estas tres clases de estructuras tienen los mismos objetos como subcategorías de $\mathbf{Poset}$ pero tienen homomorfismos diferentes.

En términos más generales, un functor $U : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ olvida la estructura de propiedades si es fiel y totalmente fiel sobre isomorfismos (es decir, para cualquier $A$ y $B$ en $\mathcal{D}$ y cualquier isomorfismo $g : U A \to U B$ en $\mathcal{C}$ existe un isomorfismo único $f : A \to B$ en $\mathcal{D}$ tal que $U f = g$ ). Dado tal functor, podemos pensar en objetos en $\mathcal{D}$ como objetos en $\mathcal{C}$ equipado con una estructura extra que está determinada de forma única (si existe), y los morfismos en $\mathcal{D}$ son los morfismos en $\mathcal{C}$ que conservan esta estructura adicional.

También se puede hacer la siguiente observación. Supongamos que $U : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ tiene un adjunto izquierdo, digamos $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ . Entonces tenemos una comonada $\mathbb{G} = (G, \epsilon, \delta)$ en $\mathcal{D}$ donde $G = F U$ , $\epsilon$ es el contador de adjunción, y $\delta = F \eta U$ y, por tanto, un funtor canónico $\mathcal{D}^\mathbb{G} \to \mathcal{C}$ donde $\mathcal{D}^\mathbb{G}$ es la categoría de Kleisli inducida por $\mathbb{G}$ . No es difícil ver que este functor es totalmente fiel, y su imagen en $\mathcal{C}$ es precisamente la subcategoría completa que abarca la imagen de $U : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ . Así que se puede pensar en los objetos en $\mathcal{C}$ que son a imagen y semejanza de $U$ como objetos en $\mathcal{D}$ dotado de cierta estructura coalgebraica adicional.

Answer 2

Si estoy en lo cierto, se pueden considerar dos tipos de morfismos diferentes en la categoría de las topos: a saber morfismos geométricos y morfismos lógicos .

Basándome en el enlace que te envié parece que este tipo de morfismos no preservan completamente toda la estructura del topos.

Otro ejemplo es el de los espacios topológicos y las clases de equivalencia homotópica de los mapas. En esta categoría, los morfismos no conservan la estructura topológica.

Por supuesto se podría argumentar que en tal ejemplo los morfismos preservan exactamente toda la estructura que queremos considerar: en el caso del functor lógico queremos preservar la lógica interna, mientras que con el morfismo geométrico preservamos aquellas propiedades de las topos de Grothendieck y las clases de homotopía de función continua preservan la estructura de homotopía.

A tal argumento sólo puedo responder que cuando tratamos con categorías (concretas) nos interesa estudiar el objeto a través de sus morfismos, y desde el punto de vista categorial son exactamente esos morfismos los que determinan la estructura del objeto que nos interesa.

Answer 3

Creo que sí. Esto nos da functores de olvido, y por las hormas se pueden construir objetos libres.