Sugerencia de texto para álgebra lineal y geometría

Question

Quiero estudiar más álgebra lineal durante el verano, concretamente relacionándola con la geometría. En principio iba a leer el libro de Shafarevich Álgebra lineal y geometría , después de una recomendación, pero no tiene ejercicios. ¿Alguien puede sugerir un texto similar? En cuanto a mi formación, aprendí álgebra lineal con Hubbard's Cálculo vectorial texto, he trabajado a través de la mayor parte de Axler LADR y a través del capítulo 5 o 6 de Artin.

Answer 1

En mi opinión, teniendo unos conocimientos básicos de álgebra (Axler es muy bueno, seguro), apostaría por aprender diferentes pequeños temas de diferentes libros, porque es bastante difícil encontrarlo todo en un solo libro. Si quieres profundizar en el álgebra lineal con aplicaciones a la geometría, te sugeriría estudiar los siguientes temas (avanzados):

1. Espacios vectoriales tensores, simétricos y antisimétricos (es decir, espacios vectoriales dados $V$ y $W$ para construir los objetos $V\otimes W$ , $Sym^r(V)$ , $\bigwedge^n V$ ) junto con un repaso del álgebra básica desde un punto de vista superior. Para este tema, he encontrado una fuente extremadamente buena, Álgebra multilineal y aplicaciones . Le ayudará a tener una base sólida en álgebra lineal, siendo un libro bastante agradable.

2. Teoría básica de Lie : Le recomiendo encarecidamente Teoría ingenua de Lie . Es imprescindible para quien desee relacionar álgebra lineal y geometría. Un buen libro excepcional.

3. (Opcional) Álgebras de Clifford : esto es un poco más difícil, pero no obstante útil si se dispone de tiempo suficiente, al menos para tener una idea aproximada. Lea el artículo ici y luego tratar de leer las primeras 20 páginas de Geometría de giro .

Creo que es una buena planificación para estudiar en verano. Las referencias son agradables y de fácil lectura, pero también tienen un nivel superior.

Answer 2

Pasé casi 3 años buscando una comprensión en cuanto a cómo el álgebra lineal relacionada con la geometría y cómo este enfoque se supone que unificar el tema, he mirado cada uno de los libros mencionados aquí y ninguno de ellos respondió a mi pregunta.

Las mejores versiones de lo que todos estos libros intentan hacer (en términos de relacionar todo el álgebra lineal con la geometría) son dos libros raros, uno de Fekete " Álgebra lineal real "cuya introducción es imprescindible para comprender el álgebra lineal en su conjunto, y otro de Dieudonné " Álgebra lineal y geometría ", de espíritu extremadamente geométrico, que utiliza una notación muy rigurosa y cuya introducción hace hincapié en la distinción entre las propiedades afines y métricas de la geometría euclidiana,

Comentarios como Los famosos comentarios de Artin sobre las transformaciones lineales o la noción de que un determinante debe interpretarse como una homotecia de volúmenes (¡mejor en Dieudonné!) etc... hacen que parezca que existe alguna visión unificada profunda del álgebra lineal en términos de geometría, por ejemplo, que puede existir algo que explique todos los teoremas con imágenes. Del mismo modo, capítulos como "Geometría Unitaria" en "Teoría de Grupos y Mecánica Cuántica" de Weyl sólo llevarían a uno a esforzarse más en encontrar alguna interpretación unificada del álgebra lineal, así que ¿quién no querría comprobarlo? toda buena referencia ?

Desde entonces he descubierto que sólo hay una respuesta parcial a esta pregunta, y la respuesta es Gelfand una vez que la relatividad general y la mecánica cuántica te guíen para que lo veas. Básicamente puedes ver el primer capítulo (sobre espacios vectoriales y espacios de producto interno) como el desarrollo de un geométrico formalismo, modelización de un espacio vectorial en un espacio curvo (colector) aplicable a relatividad general (y la geometría euclidiana por extensión), y el segundo capítulo (sobre operadores y transformaciones lineales) como desarrollo de una algebraico formalismo, basado en números complejos y polinomios (que también menciona Axler, como seguro que ha leído) aplicable principalmente a mecánica cuántica (¡recuerde que QM no va a exigir interpretaciones geométricas bonitas! De ahí la importancia de descartar aquí la necesidad de interpretaciones geométricas, ¡y se unifica el tema cuando se hace esto!).

A grandes rasgos, en el Cap. 1 se empieza a hablar de la geometría afín del paralelismo mediante los conceptos de independencia lineal, bases, bases cambiantes e isomorfismos ( consulte a Dieudonné para ver por qué puede pensar en esto como geometría afín, más generalmente sigue la visión de Klein de la geometría afín/euclidiana/proyectiva como una geometría invariante bajo proyecciones paralelas/ortogonales/centrales, pero hay un sentido más técnico en el que la palabra afín se utiliza en álgebra lineal (véase más abajo) así que tenga cuidado ), luego añadimos perpendicularidad mediante un producto interior para obtener geometría euclidiana (o geometría hermitiana si quieres números complejos) y discutimos los principios generales, luego nos centramos estrictamente en geometría ortogonal (es decir, con respecto a una base ortogonal) mediante Gram-Schmidt, mínimos cuadrados y demás. Después entran en escena las formas lineales, bilineales y cuadráticas, que no son más que otra forma (general) de hablar de geometría no ortogonal (curvilínea) En las últimas secciones se discuten los métodos de Lagrange y Jacobi para reducir una forma cuadrática a una suma de cuadrados, que no es más que otra forma de decir el principio de equivalencia de Einstein, es decir, que localmente en cualquier punto del espaciotiempo podemos trabajar como si lo hiciéramos en una geometría ortogonal, pero globalmente esto no será cierto. Es decir, que localmente en cualquier punto del espaciotiempo podemos trabajar como si estuviéramos trabajando en una geometría ortogonal, pero globalmente esto no será cierto, es decir, podemos diagonalizar nuestra métrica (una forma cuadrática) localmente usando estos métodos, ¡pero globalmente no se cumplirá! (La última sección trata de la geometría hermitiana, es decir, de hacer todo esto con los números complejos). Así pues, todo el cuadro está motivado por la imaginación de poner un espacio vectorial (tangente) a una variedad curva e invocar el principio de equivalencia localmente. Puedes ignorar todo esto y pretender que estamos estudiando el álgebra por sí misma, como hacen los otros libros, pero de ese modo no consigues una motivación/explicación unificada de lo que estás haciendo...

Hay una forma similar de motivar de forma natural todas las formas normales de Jordan, valores propios, adjunto, autoadjunto, normal, unitario, etc ... conceptos de álgebra lineal y voy a escribir una gran explicación hasta si te gusta esta descripción hasta el momento.

Basándome en todo esto, ahora puedo mencionar una versión más avanzada de Gelfand & Shafarevich, a saber Kost r ikin que tiene un libro de ejercicios hace las cosas afines de la forma en que se suele hacer y realmente vincula los operadores con la geometría (!), pero Recomiendo este punto de vista como una consecuencia secundaria/aplicación de la interpretación algebraica para llevar a cabo realmente la geometría euclidiana, hermitiana, minkowskiana y simpléctica que mencioné anteriormente, porque no unifica el tema de la forma en que lo hace el pensamiento sobre números complejos/polinomios. Básicamente puedes ver secciones del capítulo 2 de Kostrikin como un capítulo 3 de Gelfand mezclando tus ideas, o quizás sólo versiones extendidas de su sección sobre formas bilineales.

Así, recomiendo una mezcla de Dieudonné, Fekete, Gelfand & Kostrikin + libro de ejercicios. Espero que le sirva de ayuda.

Answer 3

Para más información sobre la geometría, consulte el maravilloso texto en dos volúmenes de Berger Geometría . Es un tratamiento muy sofisticado de las geometrías clásicas (no de la geometría diferencial), lleno de álgebra lineal. También podrías echar un vistazo al hermoso libro de Pedoe, Geometría, un curso completo que utiliza el álgebra multilineal además del álgebra lineal. También están los inicios de los grupos de Lie, por lo que podrías consultar Curtis's Grupos Matrix .

Quizá si centrase un poco más su pregunta, podríamos ayudarle un poco más.

Answer 4

Como darij grinberg comenta arriba, hay Álgebra lineal y geometría de Suetin, Kostrikin y Manin; es bastante difícil, pero debería ser accesible, dado el tiempo transcurrido entre ahora y cuando hiciste esta pregunta originalmente. No lo he leído todo, pero lo que he leído me ha gustado bastante. Tiene muchos ejercicios buenos.

En un nivel totalmente diferente (y no es útil para usted, dado que ha leído Hubbard y Axler - estoy poniendo esto aquí sobre todo en caso de que alguien más se encuentra con esta pregunta) es Ted Shifrin's Álgebra lineal: Un enfoque geométrico es una bonita aproximación geométrica al álgebra lineal. Es menos abstracto que las fuentes que das (y cubre mucho menos terreno que el libro de Shafarevich), pero ofrece mucha intuición geométrica. También se enorgullece de sus ejercicios, en contraste con tu experiencia con Shaferevich.

Answer 5

Ver también Álgebra lineal avanzada Steven Roman, capítulos 9 y 14, sólo como suplemento.