Cuál es el conjunto de números triangulares mod $n$ ?

Question

Mi pregunta viene motivada por lo siguiente hecho (para un par de pruebas, véase mi respuesta en MSE 1926967 Tenga en cuenta que hecho también responde a la $\ell = 1$ caso de MO 265513 ):

Es un hecho. El conjunto de los números triangulares módulo $n$ produce $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si $n$ es una potencia de $2$ .

Mi pregunta concreta es si existe una forma sencilla de describir este conjunto dada, por ejemplo, la factorización en primos de $n$ . Pero también tengo una pregunta más amplia:

¿Qué más se puede decir sobre el conjunto de los números triangulares módulo $n$ en función de $n$ ?

Por ejemplo, cuando $n$ es impar, cabe esperar que el conjunto tenga una cardinalidad en torno a $(n+1)/2$ . Para ilustrarlo con un ejemplo, consideremos lo siguiente $n = 11$ y la primera $11$ contar números cada uno reducido módulo $11$ :

$$1, 2, 3, 4, 5, -5, -4, -3, -2, -1, 0$$

Por muchos elementos distintos que tengamos después del primer $(n+1)/2$ Los números triangulares serán el total final, ya que (como sugiere la notación negativa anterior) los elementos invierten su curso a partir de entonces y vuelven a $0$ momento en el que se reinician al haber formado un ciclo.

Pero no sólo me interesa una estimación de la cardinalidad basada en $n$ Espero que sea todo. Con ese espíritu:

Q. ¿Cómo podemos describir el conjunto de números triangulares módulo $n$ dado $n$ ¿'s prime factorization?

Answer 1

Fijar $n=p_1^{\alpha_1}\ldots p_k^{\alpha_k}$ . Queremos saber para qué $b$ la ecuación $$ a(a+1)/2=b $$ tiene solución módulo $n$ . Por el teorema chino del resto, esto ocurre si tiene solución mod $p_i^{\alpha_i}$ para cada $i$ . Consideremos una de estas primeras potencias. Si $p_i=2$ entonces siempre hay una solución, como se menciona en su pregunta. Supongamos que $p_i\neq2$ . La ecuación es equivalente a $$ (2a+1)^2=8b+1. $$ Sea $8b+1=x_ip_i^{\beta_i}$ donde $p_i\not\mid x_i$ . Si $\beta_i\geq\alpha_i$ podemos tomar $2a+1=p^{\alpha_i}$ . De lo contrario, $\beta_i$ debe ser par, y en este caso por Lema de Hensel existe una solución si $x_i$ es un residuo cuadrático mod $p_i$ . Por lo tanto, los residuos de números triangulares mod $n$ son exactamente $$ \left\{b\,\left|\,\left(\frac{x_i}{p_i}\right)=1\text{ and }\beta_i\text{ is even for each }i\text{ with }\beta_i<\alpha_i\text{ and }p_i\neq2\right.\right\} $$ donde $\left(\frac{x}{p}\right)$ es el Símbolo de Legendre . No creo que exista una expresión cerrada para el símbolo de Legendre, pero la reciprocidad cuadrática proporciona un algoritmo para calcularlo.