Mayor intervalo de solución de la EDO

Question

Actualmente estoy autoaprendiendo un poco de teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, y por ahora me limito a ecuaciones en las que se aplica el teorema de Picard-Lindelöf: $y'=F(t,y)$ donde $F$ está definida y es continua en algún conjunto abierto $U$ de $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ y Lipschitz uniformemente continua en $y$ con condiciones iniciales $y(t_0)=y_0$

Dado $a,b\in\mathbb{R}_+^*$ suficientemente pequeño para que el conjunto compacto $R=[t_0-a,t_0+a]\times\mathcal{D}(y_0,b) \subset U$ existe una solución en $I=[t_0-a',t_0+a']$ donde $a'=\min(a,\frac{b}{M})$ y $M=\lVert{F}\rVert_{\infty,R}$ es la norma de $F$ en $R$ y $\mathcal{D}(y_0,b)$ es el disco con centro $y_0$ y radio $b$

• Un ejemplo

Consideré la función suave $F$ definido en $\mathbb{R}^2$ por: $$F(t,y)=\cos^2t+y^2$$ con la condición inicial $y(0)=0$

• Optimización de $a'$

Esta función es Lipschitz uniformemente continua en $y$ en cualquier subconjunto abierto acotado de $\mathbb{R}^2$ .

Sea $a,b\in \mathbb{R}_+^*$ podemos demostrar con un poco de trabajo que $a'=\min(a,\frac{b}{b^2+1})$ y al darse cuenta de ello: $$\sup_{b\in\mathbb{R}_+^*}\frac{b}{b^2+1}=\frac{1}{2} \text{ which is attained on the point }b=1$$ podemos demostrar que $a'=\frac{1}{2}$ funciona

Ahora bien $a'$ es óptimo en el sentido de que es el mayor que puede extraerse por el teorema de Picard-Lindelöf, pero sospecho que podemos obtener un valor mayor de $a'$ y como prueba utilicé Mathematica que sugería que el mayor "radio" es $a'\in [1.88,1.89]$

• Mi pregunta

¿hay algunas buenas suposiciones sobre $F$ que puede dar

1. algunos límites en $a'$ ?
2. ¿o mejor aún su valor?

Answer 1

La ecuación diferencial puede resolverse en "forma cerrada":

$$ y(t) = -{\frac {{\it MathieuCPrime} \left( 1/2,-1/4,t \right) }{{\it MathieuC} \left( 1/2,-1/4,t \right) }} $$

La solución existe hasta el primer cero del denominador, que es aproximadamente $1.888380846$ .

Answer 2

Sabiendo que la solución existe para $|t|\le a=\frac12$ con valores $|y(t)|\le b=1$ se puede encontrar un límite superior para la extensión mediante $$ y'\le 1+y^2\implies y(t)\le \tan(t-a+\arctan(y(a)))\le \tan(t-\tfrac12+\tfrac\pi4) $$ Este límite superior tiene un polo en $t_*-\tfrac12+\tfrac\pi4=\frac\pi2$ o $t_*=\frac12+\frac\pi4=1.285398..$

Mientras exista este límite superior, la solución exacta debe tomar valores finitos y, por tanto, puede ampliarse. Esto significa que el dominio máximo de la solución contiene el intervalo $[0,t_*)$ .

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Inspirándose en los detalles de este límite se puede considerar la parametrización de la solución $y(t)=\tan(u(t))$ , $|u(t)|\le\frac\pi2$ . Entonces $$ u'(t)=\frac{\cos^2t+\tan^2(u(t))}{1+\tan^2(u(t))},~~u(0)=0 $$ para que $M=1$ independientemente del tamaño de los dominios $a,b$ . Para no salir del rango admisible de $u$ se necesita $Ma<\frac\pi2\implies |t|< a=\frac\pi2$ . El dominio máximo de $y$ contiene $(-\frac\pi2,\frac\pi2)$ .

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La sustitución de Riccati es $y=-\frac{g'}{g}$ para que entonces $$g''(t)+\cos^2(t)g(t)=0, ~~g(0)=1,~ g'(0)=0.$$ Se trata de una ED lineal con coeficientes continuos, es decir, la solución existe sin restricciones. Las soluciones para la ecuación original existen entre las raíces del denominador $g$ .

La aproximación zeroth de la solución de esta ecuación de Matthieu es $g(t)=\cos(\sqrt{\frac12}t)$ que tiene una raíz en $t=\frac\pi{\sqrt2}=2.221...$ que da otra impresión (pero no una estimación válida en modo alguno) de la ubicación del polo en $y$ .

Utilizando el teorema de comparación de Sturm-Picone en esta ecuación nos dice que entre dos raíces cualesquiera de $g$ tiene que haber una raíz de $\cos(t)$ . Utilizando la simetría de la ecuación y el IVP se obtiene que $g$ es simétrica par, lo que significa que la raíz positiva más pequeña de $g$ tiene que ser mayor que $\frac\pi2$ .