Los límites de integración para un paraboloide y un plano.

Question

Considera el volumen, $V$ , $$z=x^2+y^2$$ y el plano $2x+z=3$ . Determine los límites del volumen encerrado. No intentes evaluar la integral.

Hola, estoy confundido en como obtener limites para esta integral, la dibuje y creo que $z$ límites son de la ecuación del paraboloide a $z=3-2x$ pero después de eso estoy perplejo.

Gracias.

Answer 1

Las dos superficies se cruzan cuando $$z=x^2+y^2=3-2x \Rightarrow x^2+2x+y^2 = 3$$ Ahora $$x^2+2x+y^2 = 3 \Rightarrow \left(x+1\right)^2+y^2=4$$

Por lo tanto, en coordenadas cartesianas: $$V= \int{\int{\int dz}dy}dx=\int_{x=-3}^{x=1}{\int_{y=-\sqrt{4-(x+1)^2}}^{y=\sqrt{4-(x+1)^2}}{\int_{z=x^2+y^2}^{z=3-2x}1dz}dy}dx$$

En coordenadas cilíndricas, a partir de: $$V= \int{\int{\int_{z=x^2+y^2}^{z=3-2x}1dz}}dA=\int{\int{\left[4-\left(x+1\right)^2-y^2\right]}}dA$$ A continuación, utilizando $r=x^2+y^2$ , $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$ : $$V=\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}{\int_{r=0}^{r=2}{\left[ {4-\left(r\cos\theta+1\right)^2-\left( {r\sin\theta} \right)^2} \right]}}rdrd\theta$$

Answer 2

Bueno, primero podemos encontrar el $x$ y $y$ coordenadas que tendremos que integrar resolviendo para la intersección del plano y el paraboloide. Para ello, reordenamos nuestras ecuaciones como $z=3-2x$ y $z=x^2+y^2$ y los igualamos para obtener $$3-2x=x^2+y^2 \implies 4=(x+1)^2+y^2$$ Así que nuestra región es un círculo de radio $2$ alrededor del punto $(x,y)=(-1,0)$ . Ahora tenemos nuestros límites reordenando nuestro círculo en $x=-1 \pm\sqrt{4-y^2}$ . En $z$ Los valores que integraremos serán simplemente del paraboloide al plano, por lo que podemos escribir $$\int_{-2}^2 \int_{-1-\sqrt{4-y^2}}^{-1+\sqrt{4-y^2}}\int_{x^2+y^2}^{3-2x} dz \ dx \ dy$$ o $$\int_{-2}^2 \int_{-1-\sqrt{4-y^2}}^{-1+\sqrt{4-y^2}}(3-2x) - (x^2+y^2) \ dx \ dy$$