$r$ raíz primitiva de primo $p$ donde $p \equiv 1 \mod 4$ : probar $-r$ también es una raíz primitiva

Question

Pregunta es la siguiente:

Sea $p$ sea un primo con $p \equiv 1 \mod 4$ y $r$ sea una raíz primitiva de $p$ . Demostrar que $-r$ también es una raíz primitiva de $p$ .

He demostrado que $-r^{\phi(p)} \equiv 1 \mod p$ . Lo que me cuesta demostrar, sin embargo, es que el orden de $-r$ modulo $p$ no es un número cualquiera (dividiendo $\phi(p)$ que sea MENOR que ( $\phi(p)$ ).

A modo de contradicción, he demostrado que el orden de $-r$ no puede sea un número PAR menor que $\phi(p)$ . Pero mi metodología no funciona para la hipotética posibilidad de una orden de impar que sea menor que $\phi(p)$ .

Se agradece cualquier ayuda. Feliz de mostrar la metodología para cualquiera de las partes que he logrado hacer, si se solicita.

Answer 1

Sea $p=4k+1$ . Desde $r$ es una raíz primitiva de $p$ tenemos $r^{2k}\equiv -1\pmod{p}$ . Así $(-r)^{2k}\equiv -1\pmod{p}$ y, por lo tanto $$(-r)^{2k+1}\equiv (-1)(-r)\equiv r\pmod{p}.$$ Desde $r$ es congruente con una potencia de $-r$ y $r$ es una raíz primitiva de $p$ se deduce que $-r$ es una raíz primitiva de $p$ .

Answer 2

Resultado: Sea $r$ sea una raíz primitiva $\pmod{p}$ . Entonces el orden de $r^k \pmod{p}$ es $\frac{p-1}{\gcd(k, p-1)}$ .

Prueba: Sea $m$ sea el orden de $r^k \pmod{p}$ . Entonces $1 \equiv (r^k)^m \equiv r^{km} \pmod{p}$ Así que $p-1 \mid km$ comme $r$ es una raíz primitiva. Así, $\frac{p-1}{\gcd(k, p-1)} \mid \frac{k}{\gcd(k, p-1)}m$ y $\gcd(\frac{p-1}{\gcd(k, p-1)},\frac{k}{\gcd(k, p-1)})=1$ así que $\frac{p-1}{\gcd(k, p-1)} \mid m$ . Por otra parte $(r^k)^{\frac{p-1}{\gcd(k, p-1)}} \equiv (r^{\frac{k}{\gcd(k, p-1)}})^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ así que $m \mid \frac{p-1}{\gcd(k, p-1)}$ . Así $m=\frac{p-1}{\gcd(k, p-1)}$ según se desee.

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Nota $r^{\frac{p+1}{2}} \equiv r^{\frac{p-1}{2}}r \equiv -r \pmod{p}$ .