Demostrar que una función converge a 0 cuando sabemos algo sobre su integral generalizada

Question

$f(x)$ es continuamente diferenciable en $[a, +\infty)$ si $\int_a^{\infty}f(x)dx$ y $\int_a^{\infty}f'(x)dx$ convergen, intente demostrar que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$ .

He demostrado un lema relacionado como sigue:

$f(x)$ es integrable en Riemann generalizado en $[a, +\infty)$ si $f(x)$ es diferenciable en $[a, +\infty)$ y $f'(x)$ está acotada, entonces $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$ .

No estoy seguro de si el lema es útil para demostrar la proposición original, por favor muéstrame alguna prueba válida o pistas. Si no entiendes mi pregunta, házmelo saber lo antes posible.

Answer 1

Usted tiene que $$f(x)=f(a)+\int_a^xf'(t)\,\mathrm d t.$$

Desde $\int_a^\infty f'(x)\,\mathrm d x,$ converge, entonces $$\ell:=\lim_{x\to \infty }f(x),$$ existir. Supongamos que $\ell\neq 0$ . Supongamos que $\ell>0$ . Sea $M\geq a$ s.t. $f(x)\geq \frac{\ell}{2}.$ En particular, si $x>M$ entonces $$\int_a^x f(x)\mathrm d x=\int_a^Mf(x)\,\mathrm d x+\int_M^x f(x)\,\mathrm d x\geq \int_a^M f(x)\,\mathrm d x+\frac{(x-M)\ell}{2}\underset{x\to \infty }{\longrightarrow }\infty ,$$ lo cual es una contradicción. Haga lo mismo si $\ell<0$ y concluir.