¿Qué es la finalización de $C[0,1]$ equipado con la norma integral?

Question

Definir la norma $\|f\|$ en $C[0,1]$

$$\|f\|=\int_{0}^{1}|f(x)| \text{ }dx.$$

Defina $f_n(x)$ como $$f_n(x)=\begin{cases} nx & \text{if } 0\leq x\leq \frac{1}{n}\\ 1 & \text{if }\frac{1}{n}<x\leq 1 \end{cases} $$

Pregunta 1:

Puedo ver en el gráfico que $f_n$ converge a una función que no es continua. Pero ¿cómo demuestro que $f_n$ en realidad no converge en $C[0,1]$ con respecto a esta norma.

Pregunta 2:

¿Qué es la finalización de $C[0,1]$ con respecto a esta norma? ¿Es el conjunto de funciones integrables definidas en $[0,1]$ ?

Edita:

La secuencia $f_n$ es convergente a la función $1$ en esta norma.

Answer 1

Si tu secuencia pretendía mostrar que $C[0,1]$ no es completa en la norma integral, no consigue ese objetivo, porque su límite es la función constante $1$ . En su lugar, véase Demostrando que el espacio $C[0,1]$ con el $L_1$ norma incompleta .

La finalización de $C[0,1]$ con respecto a la norma $\|f\| = \int_0^1 |f(x)|\,dx$ es el espacio de Lebesgue $L^1[0,1]$ . La prueba de este hecho consta de dos partes independientes, que ya se han tratado aquí:

1. Las funciones continuas son densas en $L^1[0,1]$
2. $L^1[0,1]$ está completo