Cuestión introductoria a la Teoría Bayesiana de la Búsqueda

Question

¿Puede alguien ayudarme con una pregunta básica sobre la teoría bayesiana de la búsqueda? No estoy seguro de cómo enfocar estas preguntas y después de leer sobre la teoría de búsqueda bayesiana sigo preguntándome cómo debería enfocar estas preguntas. La pregunta es

Una pelota está en una casilla de $n$ . Para $i = 1,..,n$ la pelota está en el $i$ -ésima casilla con probabilidad $p_i$ . Para cada valor de $i$ existe una probabilidad $\alpha _i$ que una búsqueda del $i$ -ésima casilla revelará la bola si está realmente en esa casilla.

¿Cuál es la probabilidad de que la pelota esté en la caja 1, dado que al buscar en la caja 3 no se encuentra la pelota? Además, ¿cuál es la probabilidad de que la bola esté en la caja 1 si al buscar en la caja 1 no se encuentra la bola?

Agradeceré cualquier consejo sobre cómo abordar este tipo de cuestiones.

Answer 1

Lo que quiere en la primera pregunta es $$ Pr(\text{Ball in Box 1}|\text{Ball not found in Box 3})=\frac{Pr(\text{Ball in Box 1}, \text{Ball not found in Box 3})}{Pr(\text{Ball not found in Box 3})} $$

Por el enunciado de la pregunta, parece que no hay posibilidad de "falsos positivos". Así que si la bola está en la casilla 1, entonces la bola nunca se encontrará en la casilla 3. Así que el numerador se reduce a $$ Pr(\text{Ball in Box 1}, \text{Ball not found in Box 3})=Pr(\text{Ball in Box 1})=p_1 $$ Para el denominador, esto puede ocurrir de dos maneras. Para no encontrar la bola en la casilla 3, se requiere que 1) la bola no esté en la casilla 3, o 2) la bola esté en la casilla 3, pero la búsqueda falle. Entonces esto es: $$ Pr(\text{Ball not found in Box 3})=(1-p_3)+p_3\alpha_3=1-(1-\alpha_3)p_3. $$

Juntando todo esto, el resultado es

$$ Pr(\text{Ball in Box 1}|\text{Ball not found in Box 3})=\frac{p_1}{1-(1-\alpha_3)p_3}. $$

Para la segunda pregunta, creo que se hace utilizando un razonamiento similar. Espero que te sirva de ayuda.