Depende de si ya tienes definido el tensor del momento de inercia de la masa o no.
Si sabes que la inercia del cuerpo es $I_{body}$ y la matriz de rotación 3x3 es $E$ entonces el vector momento angular en el centro de gravedad C es
$$ \vec{H}_C = \left( E I_{body} E^\top \right) \vec{\omega} $$
y el vector momento lineal es $$\vec{L} = m \vec{v}_C$$
El tensor del momento de inercia de la masa a lo largo de las coordenadas mundiales en el centro de gravedad es $I_C = E I_{body} E^\top $ que transforma la velocidad de rotación $\vec \omega$ en coordenadas locales, multiplica por $I_{body}$ y transforma los respaldos en coordenadas mundiales.
Ahora las ecuaciones del movimiento sobre el centro de gravedad se definen a partir de que la suma de fuerzas y momentos es igual a la tasa de cambio del momento
$$ \sum \vec{F} = \dot{\vec{L}} $$ $$ \sum \vec{M}_C = \dot{\vec{H}}_C $$
o
$$ \sum \vec{F} = m \vec{a}_C $$ $$ \sum \vec{M}_C = I_C \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times I_C \vec{\omega} $$
ya que la derivada temporal del momento angular en un marco giratorio es $\dot{\vec{H}_C} = \frac{\partial \vec{H}_C}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{H}_C $
Tenga en cuenta que $\dot{\vec{v}} = \vec{a} $ y $\dot{\vec{\omega}} = \vec{\alpha} $ .
Ahora para describir las ecuaciones en un marco A no en C utilizar las siguientes transformaciones (con posición relativa del c.g. $ \vec{c} =\vec{r}_C - \vec{r}_A $ .
$$ \vec{a}_C = \vec{a}_A + \vec{\alpha} \times \vec{c} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{c}) $$
$$ \sum \vec{M}_C = \sum \vec{M}_A - \vec{c} \times \sum \vec{F} $$
Finalmente, las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido, descrito por una armadura A no en el centro de gravedad C es (bastante desordenado)
$$ \boxed{ \begin{aligned} \sum \vec{F} &= m \vec{a}_A - m \vec{c}\times \vec{\alpha} + m \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{c}) \\ \sum \vec{M}_A &= I_C \vec{\alpha} + m \vec{c} \times \vec{a}_A - m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha} +\vec{\omega} \times I_C \vec{\omega} + m \vec{c} \times \left( \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{c}) \right) \end{aligned} } $$
Por eso se utiliza la notación espacial (busque teoría de tornillos ) para compactar lo anterior en
$$ \sum \bf{f}_A = I_A \bf{a}_A + \bf{p} $$
$$ \begin{pmatrix} \sum \vec{F} \\ \sum \vec{M}_A \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} m & -m \vec{c}\times \\ m \vec{c}\times & I_C - m \vec{c}\times \vec{c}\times \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \vec{a}_A \\ \vec{\alpha} \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \vec{c}\times & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} m \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{c}) \\ \vec{\omega}\times I_C \vec{\omega} \end{pmatrix} $$
Obsérvese que el $0$ y $1$ son matrices de 3x3 y $\vec{c}\times$ es el 3x3 operador de producto cruzado definido por
$$ \vec{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} }\times = \begin{vmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{vmatrix} $$
Ahora la gran matriz 6x6 que multiplica el término de aceleración es la inercia espacial en A . Más información en aquí y aquí .
