Problema de la prueba por contradicción ¿Por dónde empiezo?

Question

Demuestra lo siguiente: No hay soluciones de números racionales para la ecuación $x^3 +x+ 1$ = 0, es decir, ninguna solución puede escribirse como un cociente a/b donde a, b N (siempre se puede considerar a/b como un cociente a/b). siempre se puede considerar que a/b se reduce a los términos más bajos). Pista: empieza la demostración como si se tratara de una prueba por contradicción, y luego multiplica por $b^3$ para deshacerse de los denominadores. A continuación, considere un análisis de caso de a y b basado en par y impar.

No estoy seguro de por dónde empezar en esta prueba por contradicción ¿trabajo hacia atrás? ¡Cualquier ayuda sería genial! Gracias.

Answer 1

Si la respuesta de Bill te parece demasiado rebuscada, sigue las pistas. Configurar $x = a/b$ y multiplicando por $b^3$ su ecuación se convierte en $a^3 + a b^2 + b^3 = 0$ . Hay tres casos a considerar: $a$ impar y $b$ impar, $a$ impar y $b$ incluso, $a$ incluso y $b$ impar. ¿Qué es $a^3 + a b^2 + b^3$ en cada uno de esos casos?

Answer 2

Empiece por suponer que $\rm\:a/b\:$ es una raíz en términos mínimos, entonces sigue las pistas. Como $\rm\:a/b\:$ está en los términos más bajos, $\rm\:a,b\:$ no son ambos pares. A continuación, considerando los restantes casos de paridad para $\rm\:a,b\:$ lleva a la contradicción de que $\rm\: a^3 + a\:b^2 + b^3 = 0\:$ es impar, ya que si $\rm\:a,b\:$ tienen paridad opuesta entonces la suma tiene dos términos pares y un término impar, y si $\rm\:a,b\:$ tienen igual paridad entonces ambos son impar, por lo que los tres sumandos son impar, por lo tanto también lo es su suma. Esta contradicción de paridad completa la prueba.

Si sabe un poco de álgebra, a continuación encontrará una generalización de mi post aquí. (por ejemplo $\rm\:R = \mathbb Z\:$ más abajo).

PRUEBA DE RAÍZ DE PARIDAD $\ $ Supongamos que $\rm\:f(x)\:$ es un polinomio con coeficientes en un anillo $\rm R$ con paridad. Entonces $\rm\:f(x)\:$ no tiene raíces en $\rm R$ si $\rm\:f(x)\:$ tiene coeficiente constante y suma de coeficientes siendo ambos impar. Además, $\rm\:f(x)\:$ no tiene raíces en el campo de fracciones de $\rm R$ cuando $\rm R$ es un dominio tal que $\rm\:R/\hat{2}\:\!\cong\mathbb Z/2,\:$ y $\rm\:f\:$ tiene coeficiente de plomo impar, y $0$ es el único $\rm\:r\in R\:$ divisible por potencias ilimitadas de $\hat 2$ .

Prueba $\ $ La prueba simplemente verifica $\rm\ f(0) \equiv f(1) \equiv 1\:\ (mod\ 2),\ $ es decir $\rm\: f(x)\:$ no tiene raíces $\rm\: (mod\ 2)\:.\ $ Por lo tanto $\rm\:f(x)\:$ no tiene raíces en $\rm\:R\:.\:$ Para el caso fraccionario, por la hipótesis, podemos cancelar potencias de $\hat 2$ de una fracción $\rm\:a/b\:$ hasta $\rm\:a,b\:$ no están los dos igualados. $\rm\:b\:$ no es impar, sino $\rm\:a/b\equiv a\pmod{2}\:$ sería una raíz, por lo que $\rm\:b\:$ es par y $\rm\:a\:$ es impar. Ahora $\rm\:0 = b^n\:f(a/b) = f_n a^n + b\:(\cdots) \equiv 1\pmod{2},\:$ contradicción, ya que el coeficiente principal $\rm\:f_n$ y $\rm\:a\:$ son ambos impar, y $\rm\:b\:$ es par. $\ $ QED

Answer 3

Supongamos que existe tal solución $x=\frac{a}{b}$ y la introducimos en la ecuación para obtener una nueva ecuación en $a$ y $b$ . Luego sigue la pista que mencionas.

Answer 4

El caso más general es el teorema de las raíces racionales.
Supongamos que a/b es una solución de la ecuación dada. $ b\neq 0 $ y $ (a,b)=1 $ . Después de multiplicar por $ b^3 $ tenemos $ a^3 + ab^2 + b^3 = 0 $ o $ a^3 = -ab^2 - b^3 $ .
Si $|b| \neq 1 $ y p es su factor primo, tenemos $ p|a^3 $ y en consecuencia p|a (la factorización prima de a es única) lo que significa que p divide tanto a como a b, una contradicción.
Si |b| = 1, tenemos $ a^3 = -a \pm 1 $ lo que no puede ocurrir ya que a y $ a^3 $ tienen siempre la misma paridad (esto se puede comprobar directamente).