Pequeña pregunta en una proposición sobre Ergodicidad

Question

Ergodicidad -- Una transformación que preserva la medida $T$ en el espacio $(X, \mathcal{B} , \mu)$ se denomina ergódica si $\forall B \in\mathcal{B}$ satisfaciendo $T^{-1} B = B$ tenemos $\mu(B) = 0$ o 1.

Sea $T$ sea una transformación preservadora de la medida de un espacio $(X, \mathcal{B}, \mu )$ . Entonces las siguientes son equivalentes:

1. $T$ es ergódica;

2. Para todo f $\in$ L $^{1}$ (X, $\mathcal{B}$ , $\mu$ ) que satisfaga $f \circ T = f$ a.e. entonces $f$ es constante a.e.

El libro que estoy leyendo dice que "podemos sustituir $L^{1}$ en la proposición anterior por medibles o $L^{2}$ " . ¿Por qué es cierto? ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Supongo que su medida $\mu $ es una medida finita. Supongamos que $T$ es eródico. $f$ es medible y $f\circ T=f$ a.e.. Entonces $g\circ f \circ T=g\circ f$ a.e. para cualquier $g$ medible. Tomemos una sucesión de funciones acotadas medibles $g$ en $\mathbb R$ convergen puntualmente a la función identidad y se aplica la $L^{1}$ caso a cada $g_n\circ f$ para ver que $g_n\circ f$ es una constante para cada $n$ . Por lo tanto $f =\lim g_n\circ f$ también es casi seguramente constante.