Segunda página de la secuencia espectral de Leray-Serre para haces de fibras

Question

Dado un haz de fibras $(E,B,p,F)$ con base conectada al camino $B$ y fibra $F$ ambas variedades cerradas y lisas de dimensiones finitas. La segunda página $E_2^{p,q}$ de la sucesión espectral de Leray-Serre sobre $\mathbb{Z}_2$ viene dado por $H^p(B;\mathcal{H}^q(F;\mathbb{Z}_2))$ donde $\mathcal{H}^q(F;\mathbb{Z}_2)$ es el sistema local (sheaf) de $\mathbb{Z}_2$ -espacios vectoriales en $B$ dado por $\mathcal{H}^q(F;\mathbb{Z}_2)|_b=H^q(p^{-1}(b);\mathbb{Z}_2)$ para cualquier $b\in B$ . En el caso de que este sistema local sea trivial, a saber, $\pi_1(B)$ actúa trivialmente sobre ella, tenemos $$E_2^{p,q}=H^p(B;\mathcal{H}^q(F;\mathbb{Z}_2))=H^p(B;\mathbb{Z}_2)\otimes H^q(F;\mathbb{Z}_2).$$

Pero si el sistema local no es trivial, ¿existe aún alguna relación entre dos espacios vectoriales $E_2^{p,q}$ y $H^p(B;\mathbb{Z}_2)\otimes H^q(F;\mathbb{Z}_2)$ ? En términos más generales, ¿es cierto que la bi $\mathbb{Z}_2$ -álgebra $E_2^{*,*}$ es isomorfo como bi-gradado $\mathbb{Z}_2$ -a $\left(H^*(B;\mathbb{Z}_2)\otimes H^*(F;\mathbb{Z}_2)\right)/I$ para algún ideal $I$ ?

Answer 1

Sea $\pi$ sea el grupo fundamental de $B$ y $R$ sea el anillo de coeficientes que quieras. Supongamos que $B$ admite una cobertura universal $\tilde{B}$ . Entonces existe una secuencia espectral $\text{Ext}^{*,*}_{R[\pi]}(H_*(\tilde{B}), H^*(F))\Rightarrow H^*(B; \underline{H^*(F)})$ . Con coeficientes de campo, digamos $k$ se puede reformular diciendo que el producto tensorial derivado $H^*(\tilde{B}) \otimes^{\mathbb{L}}_{k[\pi]} H^*(F)$ sirve como límite superior para la cohomología $H^*(B; \underline{H^*(F)})$ .

Ahora, ciertamente hay un mapa de $H^*(B) \otimes^{\mathbb{L}}_{k[\pi]} H^*(F)$ . Si el orden de $\pi$ es finito e invertible en $k$ incluso obtenemos un mapa de $H^*(B) \otimes_{k[\pi]} H^*(F) = H^*(B) \otimes (H^*(F)/\pi)$ a $H^*(B; \underline{H^*(F)})$ . Por desgracia, incluso en este caso no veo ninguna razón para que ese mapa sea suryectivo en general.

Answer 2

Permítame explicarle primero por qué su intuición es errónea, y luego le daré un contraejemplo. Usted afirma que "es difícil imaginar que $E_2^{*,*}$ tiene generadores que no pueden expresarse como un polinomio en generadores de $H^*(B;\mathbb Z_2)$ y $H^∗(F;\mathbb Z_2)$ ". Pero no es tan difícil imaginar, como los generadores de $H^∗(F;\mathbb Z_2)$ en general no corresponden a ningún elemento de $E_2^{*,*}$ en absoluto. Si no están, obviamente los elementos que están no corresponden a polinomios en ellos.

Hay mapas, pero en la otra dirección, desde $H^0(B;\mathcal H^q(F, \mathbb Z_2))$ a $H^q(F,\mathbb Z_2)$ pero eso no te ayuda.

Un contraejemplo lo proporciona cualquier espacio en el que $H^0(B;\mathcal H^1(F, \mathbb Z_2))$ desaparece pero $H^1(B;\mathcal H^1(F, \mathbb Z_2))$ es distinto de cero. Entonces no existe tal ideal $I$ porque tendría que contener todos $H^1( F;\mathbb Z_2)$ pero no todos $H^1(B;\mathbb Z_2) \otimes H^1(F,\mathbb Z_2)$ .

Podemos hacerlo utilizando un $T^2$ -en una superficie de Riemann $S$ del género $g \geq 2$ . (Si ha utilizado $\mathbb Q$ -coeficientes, un $S^1$ -). En efecto, podemos elegir el haz toroidal de modo que la representación monodrómica de $\pi_1(S)$ en $H^1(T_2,\mathbb Z)$ (y por tanto $H^1(T_2,\mathbb Z_2)$ ) a través de un subgrupo cíclico de orden $3$ en virtud de una orden $3$ elemento de $GL_2(\mathbb Z)$ . Así que $\mathcal H^1(F,\mathbb Z_2)$ como gavilla, procede de una representación bidimensional irreducible no trivial de $\pi_1$ . Entonces no hay scciones globales de $\mathcal H^1(F,\mathbb Z_2)$ Así que $H^0(S, \mathcal H^1(F,\mathbb Z_2)) =0$ pero por la fórmula característica de Euler

$$\dim H^0(S, \mathcal H^1(F,\mathbb Z_2)) - \dim H^1(S, \mathcal H^1(F,\mathbb Z_2)) + \dim H^2(S, \mathcal H^1(F,\mathbb Z_2)) =2 (2-2g)$$

podemos ver que $H^1(S, \mathcal H^1(F,\mathbb Z_2)) $ es no evanescente.