Sea $V,W$ sea $d$ -espacios vectoriales reales de dimensión $d$ . Sea $A \in \text{Hom}(V,W)$ . Consideremos el mapa inducido sobre las álgebras exteriores $\bigwedge ^kA:\bigwedge ^k V \to \bigwedge ^k W$ . ( $1 \le k \le d$ ).
Es fácil ver* que $\text{rank} \bigwedge ^k A$ depende únicamente de $\text{rank} \, A$ . ¿Cuál es la función $F_k:\{0,\dots,d \} \to \{0,\dots,d \}$ tal que $\text{rank} \bigwedge ^k A=F_k(\text{rank} \, A)?$
Resultados parciales:
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Los casos $k=1,d$ son triviales.
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$F_k(r) =0$ para $r < k$ .
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$F_k(k) =1$ .
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$F_k(s) \le \binom sk$ para $s \ge k$ .
En efecto, supongamos que $v_1,\dots,v_s$ son independientes y que $A|_{\text{Span}\{ v_1,\dots,v_s\}}$ es inyectiva. Completa $v_1,\dots,v_s$ a una base de $V$ . Entonces, para cualquier elección de $k$ elementos de base, no todos en $\{ v_1,\dots,v_s\}$ $\bigwedge ^k A$ da cero cuando actúa sobre el "elemento-cuña" correspondiente.
- $F_k(s) = \binom sk$ para $s =k,d$ . Obsérvese el caso $s=d$ sólo significa que si $A$ es invertible entonces $\bigwedge ^k A$ es invertible.
Resumen:
Queda por calcular $F_k(s)$ cuando $k<s<d$ . No estoy seguro de cómo manejar las posibles dependencias lineales de las imágenes de $\bigwedge ^k A$ sobre diferentes elementos de base.
*Cualquiera dos mapas del mismo rango son equivalentes, y la potencia exterior es un functor. (Por tanto, para mapas invertibles $(\bigwedge ^k A )^{-1}= \bigwedge ^k A^{-1}$ ).
