Demostrar que cualquier cubo entero es igual a la diferencia de dos cuadrados

Question

Sé que este problema ya lo ha planteado alguien antes. Sin embargo, mi problema es un poco diferente. Encontré el siguiente problema en Teoría elemental de números de Burton:

Demuestra que el cubo de cualquier número entero se puede escribir como la diferencia de dos cuadrados. Observa que $n^3 = (1^3+2^3+3^3+.......+n^3) - (1^3+2^3+3^3+.......+(n-1)^3).$

Mi pregunta: ¿se puede hacer con el método de inducción? Ya lo sé:

$n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 - (\frac{(n-1)(n)}{2})^2$

Estoy atascado en el paso de inducción. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

¿Qué pasa cuando lo intentas?

$(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 =$

$(\frac {n(n+1)}2)^2 - (\frac {n(n-1)}2)^2 + 3n^2 + 3n + 1$

Mientras tanto $(\frac{(n+1)(n+2)}2)^2 - (\frac {(n+1)n}2)^2 =$

$(\frac{(n+1)n}2 + \frac {2(n+1)}{2})^2 - (\frac {n(n-1)}2 + \frac {2n}{2})^2=$

$(\frac {(n+1)n}2)^2 + (n+1)^2n +(n+1)^2 - (\frac {n(n-1)}2)^2 -n^2(n-1) - n^2=$

$(\frac {(n+1)n}2)^2- (\frac {n(n-1)}2)^2 + (n+1)^2(n+1) - n^2(n)$

$(\frac {(n+1)n}2)^2- (\frac {n(n-1)}2)^2 + (n+1)^3 - n^3$ .

$(\frac {n(n+1)}2)^2 - (\frac {n(n-1)}2)^2 + n^3 +3n^2 + 3n + 1- n^3=$

$(\frac {n(n+1)}2)^2 - (\frac {n(n-1)}2)^2 + +3n^2 + 3n + 1$ .

Eso es todo.

Answer 2

Creo que lo que se supone que debes recoger aquí es que $\sum_1^x n^3$ es igual a $\frac{x^4 + 2n^3 + n^2}{4}$ . Resta y mira lo que obtienes.

Answer 3

Dado que la suma de los primeros $n$ cubos es el cuadrado de la suma de los primeros $n$ enteros, la pista muestra $n^3$ ser una diferencia de cuadrados. Supongo que eso ya lo sabías en tu post, ya que diste la fórmula. (Por supuesto que sabes que las dos expresiones fraccionarias son enteras, ya que las cimas son productos de enteros adyacentes, uno de los cuales es par). Fíjate que no hay que hacer ninguna inducción.