Prerrequisitos de Álgebra: Un conocimiento de los siguientes resultados:
(1) La definición de anillo, subanillo, ideal y anillo cociente.
(2) El teorema de correspondencia en teoría de anillos.
(3) La noción de un ideal primo, de un ideal maximal, y los hechos de que un ideal $I$ de un anillo conmutativo $A$ es primo (resp. maximal) si y solo si $R/I$ es un dominio integral (resp. campo).
En resumen, las primeras 4 páginas de Atiyah y Macdonald deberían ser en la naturaleza de una revisión para ti.
(4) Un conocimiento extenso de teoría de campos y teoría de Galois; por ejemplo, además de los elementos de teoría de Galois, probablemente deberías estar familiarizado con extensiones separables e inseparables y extensiones trascendentales. (El Capítulo 5 sobre extensiones integrales de anillos conmutativos se aprecia mejor si ya has estudiado la teoría de extensiones algebraicas de campos. Las extensiones trascendentales se discuten en el capítulo sobre teoría de la dimensión. Finalmente, al menos un resultado en el capítulo 9 (sobre dominios de Dedekind) y algunos ejercicios en el capítulo 5 requieren un conocimiento de extensiones separables e inseparables en teoría de campos.)
(5) Creo que el teorema de Jordan-Hölder en teoría de grupos se menciona en algún punto del texto. (La discusión de módulos de longitud finita en el capítulo 6.)
Prerrequisitos de Topología: Un conocimiento de los siguientes resultados:
(1) La definición de un espacio topológico, de conjuntos abiertos y cerrados, de una base para una topología, de conjuntos compactos y espacios de Hausdorff, de subespacios y de funciones continuas. (En el texto en sí, la topología de conjuntos es más prominente en el capítulo sobre completos, pero también necesitarás topología de conjuntos para los ejercicios.)
(2) El lema de Urysohn es necesario para resolver el ejercicio 4 en el capítulo 4 y al menos un ejercicio en el capítulo 1 (sobre la caracterización del espectro maximal de un anillo conmutativo).
Resumen: Los prerrequisitos más importantes son la topología de conjuntos y la teoría de campos. Puedes leer los capítulos 1-4 de Atiyah y Macdonald con solo (1)-(3) de los Prerrequisitos de Álgebra above y el capítulo 5 de Atiyah y Macdonald con un conocimiento de extensiones algebraicas y separables de campos. El capítulo 9 de Atiyah y Macdonald también requiere un conocimiento de extensiones separables de campos y el capítulo 10 de Atiyah y Macdonald requiere un conocimiento de (1) de los Prerrequisitos de Topología above.
Sin embargo, para hacer los ejercicios en Atiyah y Macdonald (que son la parte más importante del texto, en mi opinión), necesitarás todos los prerrequisitos anteriores. La topología de conjuntos es un prerrequisito esencial en los ejercicios porque muchos ejercicios discuten esquemas afines. Además, los elementos de la teoría de Galois son necesarios en algunos ejercicios en el capítulo 5, por ejemplo.
¡Espero que esto ayude!
