Demuestra esta desigualdad $\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a+b}<\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$

Question

Sea $a,b>0$ s $$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{2}{1+a+b}<\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}$$

Basta con demostrar que $$\dfrac{(3a+b+3)^2}{((1+a)(1+a+b))^2}<\dfrac{a+b}{ab}$$ o $$(a+b)[(1+a)(1+a+b)]^2>ab(3a+b+3)^2$$

esta idea no me la puede resolver, ¿conocemos alguna forma elemental de demostrarlo? Gracias de antemano.

Answer 1

Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos $$\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{2}{1+a+b}\right)^2\le\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(\dfrac{a}{(1+a)^2}+\dfrac{4b}{(1+a+b)^2}\right)$$ por lo que basta con demostrar que $$\dfrac{a}{(1+a)^2}+\dfrac{4b}{(1+a+b)^2}<1$$ desde $$\dfrac{4b}{(1+a+b)^2}<\dfrac{4b}{4(1+a)b}=\dfrac{1}{1+a}$$ basta con demostrar que $$\dfrac{a}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{1+a}<1$$ $$\Longleftrightarrow a+1+a<(1+a)^2\Longleftrightarrow a^2>0$$ está claro

Answer 2

Si op seguir adelante , obtendrá de su último paso :LHS-RHS $=(4a^4+4a^2+b^3-6a^2b)+(a^2b^2-3ab+b+a)+a^2b^3+ab^3+3a^3b^2+a^2b^2+ab^2+2b^2+3a^4b+a^3b+a^5+6a^3 >0 \iff$

$(4a^4+4a^2+b^3-6a^2b) \ge 0 \cap (a^2b^2-3ab+b+a)\ge 0$