Ecuación cuadrática hallar el valor de $\lambda$ cuando se dan otras raíces en restricción

Question

Problema :

Si $\lambda$ sea un número entero y $\alpha, \beta$ sean las raíces de $4x^2-16x+\lambda$ =0 tal que $ 1 < \alpha <2$ y $2 < \beta <3$ encuentre los posibles valores de $\lambda$

Mi enfoque :

Las raíces $\alpha, \beta = \frac{16 \pm \sqrt{256-16\lambda}}{8}$

$\Rightarrow \alpha, \beta = \frac{4 \pm \sqrt{16-\lambda}}{2}$

$\Rightarrow \alpha, \beta = \frac{4 \pm \sqrt{16-\lambda}}{2}$

$1 < \frac{4 \pm \sqrt{16-\lambda}}{2} < 2$

También $ 2 < \frac{4 \pm \sqrt{16-\lambda}}{2} < 3$

Por favor, sugiera más .. Gracias ..

Answer 1

La suma de las raíces es $4$ y estás preguntando por los posibles valores de su producto. Si una raíz $\alpha$ varía de $1$ à $2$ Estamos viendo $f(\alpha)=\alpha(4-\alpha)=-(\alpha-2)^2+4$ que tiene su máximo en $2$ . Así que $\lambda=4f(\alpha)$ varía de $12$ à $16$ en el intervalo dado.

Answer 2

Pista: Como suponemos que las raíces son reales, podemos tomar el signo menos para $\alpha$ y el signo más para $\beta$ . Esto nos da las dos desigualdades:

$$2<4-\sqrt{16-\lambda}<4\\4<4+\sqrt{16-\lambda}<6$$

Ahora, encuentra $\lambda$ que satisfaga ambas desigualdades (nótese que en realidad son la misma desigualdad).

Answer 3

Utilizando Las fórmulas de Vieta , $\alpha+\beta=4$ y $\alpha \beta=\frac{\lambda}4\implies \lambda=4\alpha \beta $

Si $1< \alpha<2 \iff 1< 4-\beta <2\iff -1>\beta-4>-2\iff 3>\beta>2$

Por lo tanto, una condición implica la otra

Ahora, $\lambda=4\alpha \beta=4\alpha(4-\alpha)=16-(2\alpha-4)^2$

En $1< \alpha<2 \implies 0>2\alpha-4>-2 \implies0<(2\alpha-4)^2<4 $

$\implies 0>-(2\alpha-2)^2>-4 \implies 16>16-(2\alpha-2)^2>12 $