Covarianza del número de 1's y la suma de todos los resultados de $n$ lanzamientos de dados justos

Question

Se lanza un dado $n$ veces. Hallar la covarianza de la número de uno y el suma de todos los resultados .

Empecé definiendo una variable aleatoria $X_i$ como $ i=1,\ldots,n$ , $X_i=1$ si en el $i$ 'th toss turned to be $1$ y $X_i=0$ de lo contrario.

Así podría representar $X$ el número de 1's como $X=\sum_{i=1}^nX_i$ y calcular la esperanza de $X$ .

Tuve problemas para decidir qué variable aleatoria debía definir para $Y$ la suma de resultados.

Me vendría muy bien cualquier tipo de orientación, ¡gracias de antemano!

Answer 1

Boceto/pista: Sea la variable aleatoria $Y_i \in \{1,2 \cdots 6\}$ sea el $i-th$ resultado del dado. Entonces

$$X_i = \begin{cases}1 & Y_i=1 \\ 0 & {\rm otherwise}\end{cases}$$

Queremos calcular $Cov(X,Y)$ donde $X=\sum_{i=1}^n X_i$ y $Y=\sum_{i=1}^n Y_i$

Empiece por demostrar (o recordar) que, en general, la covarianza de las variables independientes es cero, y que si $X_1,X_2 \dots X_n$ son independientes y también $Y_1,Y_2 \dots Y_n$ alors $$Cov(X_1 + X_2 +\cdots,Y_1 + Y_2 +\cdots)=Cov(X_1,Y_1)+Cov(X_2,Y_2)+\cdots$$

Demuestre que la hipótesis de independencia se cumple en su caso y calcule $Cov(X_i,Y_i)$

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