Los principales avances que conozco están en los dos trabajos de Elliot:
- Elliott, P. D. T. A. "El grupo multiplicativo de los racionales generado por los primos desplazados. I." J. Reine Angew. Math. 463 (1995), 169-216.
- Elliott, P. D. T. A. "El grupo multiplicativo de los racionales generado por los primos desplazados. II." J. Reine Angew. Math. 519 (2000), 59-71.
El resultado que mencionas está en la primera.
De la reseña del primer artículo en MathReviews:
Sea ${\mathbf Q}^*$ es el grupo multiplicativo de los racionales positivos, y $\Gamma$ sea el subgrupo generado por los primos desplazados $p+1$ y establece $G:={\mathbf Q}^*/\Gamma$ . Denotemos por $\Gamma_k$ el subconjunto de $\Gamma$ que comprende todos los racionales $r$ que tienen una representación $r=\prod^k_{j=1}(p_j+1)^{\epsilon_j}$ con $\epsilon_j=0,\pm1$ y todos $p_j$ primo con un máximo de $k$ factores. Una conocida conjetura de Schinzel y Sierpiński afirma que $\Gamma=\Gamma_2={\mathbf Q}^*$ y una hipótesis más débil es que $G$ es trivial. El objetivo principal de este trabajo es demostrar que (i) $G$ es finita; (ii) existe una $k$ tal que $r^{|G|}\in\Gamma_k$ para todos $r\in{\mathbf Q}^*$ (iii) $|G|\leq 3$ .
El autor deduce (i) y (ii) mediante un argumento directo del siguiente resultado, enunciado como Lemma 1: Para $m\in{\mathbf Z}^+$ , dejemos que $F_m$ sea el conjunto de enteros positivos representables en la forma $(p+1)/(m(q+1))$ con $p,q$ de primera. Entonces hay una constante absoluta $c$ tal que la densidad asintótica inferior $\underline{\bf d}F_m$ de $F_m$ satisface $\underline{\bf d}F_m\geq c$ uniformemente en $m$ . Además, con el mismo argumento se obtiene que $|G|\leq 1/c$ .
Si tiene acceso a MathReviews, le recomiendo que lea la reseña completa (¡de Tenenbaum!), ya que es muy perspicaz. En particular, Tenenbaum menciona trabajos anteriores de Meyer y suyos que habían dado $|G|\le4$ . Para obtener $|G|\le 3$ ,
El autor desarrolla una novedosa forma de estudiar $G$ basado en los principios del análisis armónico. Se basa en propiedades de funciones multiplicativas en el conjunto de primos desplazados. [...] Las pruebas se basan en estimaciones difíciles y delicadas del tipo de la teoría analítica clásica de números. El gran tamiz, el tamiz de Selberg, el método de dispersión y el teorema de Halász son los ingredientes principales, todos ellos profundamente revisitados.
Aquí está la reseña de Tenenbaum sobre el segundo artículo:
En la Parte I, el autor demostró que $G$ tiene orden $|G|\le 3$ y que existe un $k$ tal que cada $r$ tiene una representación $r^{|G|}=\prod_{j=1}^k(p_j+1)^{\epsilon_j}$ con $p_j$ de primera, $\epsilon_j=\pm1$ . La conjetura estándar en este contexto es que $G$ es trivial y $k=2$ formando un análogo multiplicativo de la conjetura de los primos gemelos. P. Berrizbeitia y Elliott [Ramanujan J. 2 (1998), nº 1-2, 219--223; MR1642879 (2000a:11122)] pudieron obtener el valor explícito $k=19$ . El autor mejora ahora este resultado demostrando que $k=9$ es admisible. Esto se deriva del siguiente teorema: Dado un número racional positivo arbitrario $\gamma$ enteros de la forma $(p+1)/\gamma(q+1)$ con $p,q$ prime tienen una densidad de al menos $\frac{11}{40}$ . Esto mejora un resultado de J. Meyer y el revisor [Bull. Sci. Math. (2) 108 (1984), no. 4, 437--444; MR0784678 (86h:11072)], que demostraron el límite inferior $\frac14$ cuando $\gamma$ es un número entero. Un método para sustituir $\frac{11}{40}$ por $\frac{3}{10}$ se expone brevemente.
Por desgracia, no estoy lo suficientemente versado en teoría de números multiplicativos como para hacer justicia a los resultados indicando su significado. Sólo diré que los resultados de "bases producto" suelen ser muy difíciles, y que el estudio del método del gran tamiz se está convirtiendo en una herramienta esencial en la teoría analítica moderna de números. Conjeturas como ésta, aunque las encuentro intrínsecamente interesantes, tienden a ser valoradas por las herramientas que nos proporcionan. Espero que las críticas anteriores indiquen algo de esto.
[ Edición (17/02/2012): El trabajo numérico relacionado con esta secuencia puede encontrarse en Matthew M. Conroy, " Una secuencia relacionada con una conjetura de Schinzel ", Journal of integer sequences, vol. 4 (1) (2001)].
