¿Qué pasa con $GL(n,\mathbb C)$ ? ¿Es abierto, denso en $M(n,\mathbb C)$ ?

Question

¿Qué pasa con $GL(n,\mathbb C)$ ? ¿Es abierto, denso en $M(n,\mathbb C)$ ?

Answer 1

Parece que estamos de acuerdo en que la apertura de $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ se demuestra más fácilmente observando que es la preimagen del conjunto abierto $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ bajo la función continua $\operatorname{det}: M_n(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{C}$ .

Estamos dando respuestas diferentes para la densidad, y todavía no he visto la respuesta simple de álgebra lineal que esperaba ver.

Aquí está: vamos a $M \in M_n(\mathbb{C})$ . Basta con demostrar que existe $\epsilon > 0$ tal que para todos los números complejos distintos de cero $t$ con $|t| < \epsilon$ la matriz $M + t I_n$ es no singular (porque entonces $M$ es un punto límite de este conjunto de matrices no singulares). Pero viendo $t$ como indeterminado, el determinante de $M+t I_n$ no es otra cosa que el polinomio característico $P(t)$ de $-M$ . Siendo un polinomio mónico de grado $n$ tiene $n$ raíces $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ (posiblemente con multiplicidad), y podemos tomar $\epsilon = \min_{i \ | \ \alpha_i \neq 0} |\alpha_i|$ .

Tenga en cuenta que este argumento funciona literalmente para matrices sobre $\mathbb{R}$ o cualquier campo normado no discreto. De hecho, para un campo arbitrario $k$ si se trabaja en cambio con la topología de Zariski en $M_n(k)$ entonces lo que realmente necesitamos es que cualquier subconjunto cofinito de $k$ (es decir, el complemento en $k$ de algún conjunto finito) sea denso en la topología de Zariski. Esto es cierto si $k$ es infinita. Si $k$ es finita, la topología de Zariski sobre $M_n(k)$ es discreto, y el resultado es falso.

Añadido : Una aplicación divertida de esta "perspectiva de perturbación algebraica lineal" es demostrar que $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ está conectado (mientras que $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ no lo es). Sugerencia: por tonterías generales, es equivalente a mostrar la conexión de caminos, así que inténtalo en su lugar. Si intento encontrar un camino desde el punto $A$ para señalar $B$ en el plano complejo, exigir que mi trayectoria evite un conjunto finito de puntos no es tan problemático como lo sería en la línea real.

Answer 2

La cantidad de geometría algebraica necesaria para demostrar la densidad de $GL_n({\Bbb C})$ es realmente mínima.

La topología de $M_n({\Bbb C})$ proviene de su evidente identificación con ${\Bbb C}^{n^2}$ . El complemento es el conjunto cero del determinante que es un polinomio en el $n^2$ entradas de la matriz. El conjunto cero de un polinomio no puede tener puntos interiores: si un polinomio desaparece en una bola abierta, su expansión de Taylor centrada en cualquier punto de la bola es idénticamente 0, y por analicidad el polinomio desaparece idénticamente. Por tanto, no hay subconjuntos cerrados adecuados de $M_n({\Bbb C})$ que contiene $GL_n({\Bbb C})$ .

Answer 3

Sí, es a la vez abierto y denso. Una forma de demostrar que es abierto es considerando el determinante. Alternativamente, el conjunto de elementos invertibles de cualquier álgebra de Banach es abierto (y $M(n,\mathbb{C})$ es un álgebra de Banach si se le da cualquier norma submultiplicativa), lo que se deduce del hecho de que si $a$ es invertible y $\|a-b\|\lt \frac{1}{\|a^{-1}\|}$ entonces $b$ es invertible. Una forma de demostrar que es denso es considerar el hecho de que $a\in M(n,\mathbb{C})$ sólo tiene un conjunto finito de valores propios.

Answer 4

Para la parte de la densidad, una forma de verlo es la siguiente: Una matriz está en $GL_n({\mathbb C})$ si sus filas son linealmente independientes sobre ${\mathbb C}$ . Así que lo que hay que demostrar es que dada cualquier matriz $M$ y un $\epsilon > 0$ puede perturbar cada entrada en menos de $\epsilon$ (en magnitud) y terminan con filas linealmente independientes.

O puedes apelar a la geometría algebraica y decir que $det(M) = 0$ define una variedad algebraica que, por tanto, tiene medida cero. Pero, por supuesto, esto es bastante avanzado :)