¿Puede considerarse toda la integración como una proyección?

Question

Por ejemplo, la integral de la función f(x) podría pensarse en la proyección de f en la función g , donde g es idéntico 1 .

Siguiendo esta lógica, ¿podemos pensar en la multiplicación de f y g como el área entre f y g No importa lo complicado que sea f o g ¿es?

Pero esto es un poco más si pensamos en el área entre f y g como la proyección de f en g pero ¿cómo explicamos el área negativa, es decir, la integración de sin(x) .

No sé si me enseñaron el cálculo correcto pero nunca he visto un libro de texto que introduzca la noción de la integral de f y g como la proyección de f en g . ¿Por qué? Y si es posible, ¿puede alguien proporcionarme un buen apunte sobre este tema? Tratando la integración desde una perspectiva de proyección.

Answer 1

Sólo para ampliar un poco, el Teorema de la representación de Riesz tiene estas ideas incrustadas. De forma genérica, en un Espacio de Hilbert de $\Bbb C$ -funciones valoradas, verá

$$\int f(x)\overline{g}(x)\,d\mu(x) $$

(si tienen valores en $\Bbb R$ la conjugación compleja sobre $g$ desaparece)

como un producto interno de dos funciones, que -tal vez recuerde del cálculo vectorial básico- era como se hablaba de proyectar un vector sobre otro

$$\text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u})={\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\over\lVert\mathbf{v}\rVert^2}\mathbf{v}$$

que (si se remonta aún más atrás) puede recordar que hizo entrar el producto interior dibujando triángulos con el ley de los cosenos .

Sin embargo, no existe la noción de "área" en este tipo de cosas. Mide más bien las ideas de "cantidad de un vector en la dirección de otro". Sin embargo, usted faire tienen una buena interpretación de los negativos, ya que tenemos la fórmula

$$\cos(\theta)={\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\over \lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert}$$

donde $\theta$ es el ángulo entre los dos vectores, por lo que los números negativos sólo significan que el ángulo no está en el rango $-{\pi\over 2}\le\theta\le {\pi\over 2}$ .

Es bastante natural que no hayas encontrado esto en una clase de cálculo, requiere una buena cantidad de álgebra lineal y demostrar que esa fórmula da un producto interno en un espacio de funciones cuadradas-integrables es una matemática mucho más difícil que el simple cálculo.

Cualquier libro sobre espacios de Hilbert que mencione una versión convenientemente generalizada del teorema de la representación de Riesz debería ser suficientemente satisfactorio para alguien que quiera seguir esta línea de pensamiento, y cualquier buena biblioteca de matemáticas debería tener $n+1$ libros sobre el tema si se busca en el catálogo "espacios de Hilbert". Una rápida búsqueda en Google de "espacio de Hilbert" arroja muchos resultados, como estas notas . Una prueba de que $L^2$ de un espacio de medidas es un espacio de Hilbert es un resultado clásico en cualquier libro de texto de análisis funcional, y se deduce de la Desigualdad de Minkowski .