`Las matrices $A,B,C,D,X$ son reales, cuadrados, $n \times n$ .
Tengo problemas para entender el teorema 7.1.2 de Lancaster & Rodman "Algebraic Riccati Equations".
La parte que yo entiendo es la siguiente. Una matriz $X$ resuelve la ecuación $XBX + XA -DX - C = 0$ si podemos encontrar una matriz $Z$ tal que tenemos $ \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I \\ X \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} I \\ X \end{array} \right] Z$ .
La parte que no entiendo es la siguiente.
Denote $T = \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D\end{array} \right] $ .
Consideremos la descomposición de Jordan de $T$ : $T= W J W^{-1}$ .
Denotemos una matriz que contiene un subconjunto de cadenas de Jordan de $T$ (un subconjunto de columnas de $W$ de manera que cada cadena esté completamente incluida o completamente excluida) como $V = \left[ \begin{array}{c} Y \\ Z \end{array} \right]$ . Denotemos la submatriz correspondiente de $J$ como $J_s$ . Supongamos además que $Y$ es invertible.
Tenemos $TV = VJ_s$ es decir $ \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} Y \\ Z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} Y \\ Z \end{array} \right] J_s $ .
Ahora bien, donde me pierdo es en el teorema 7.1.2, que parece implicar (tal vez lo entienda mal) lo siguiente.
$ \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} Y \\ Z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} Y \\ Z \end{array} \right] J_s \quad \Longrightarrow \quad \exists Z'.\; \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I \\ ZY^{-1} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} I \\ ZY^{-1} \end{array} \right] Z'$
Edición: Gracias a la respuesta, ahora veo que una buena elección de $Z'$ es $Y J_s Y^{-1} $ .
