encontrar $\frac{dy}{dx}$ en términos de $x$ y $y$ de $x^2y^2=\frac{(y+1)}{(x+1)}$ - pregunta básica

Question

Encuentre $\frac{dy}{dx}$ en términos de $x$ y $y$ de $x^2y^2=\frac{(y+1)}{(x+1)}$

Bien, utilizando la regla del producto en el lado izquierdo y la regla del cociente en el lado derecho, he diferenciado ambos lados de la ecuación y he obtenido:

$2xy(x\frac{dy}{dx}+y)=\frac{(x+1)\frac{dy}{dx}-y-1}{(x+1)^2}$

Ahora el libro de texto da la respuesta como $-\frac{y(y+1)(3x+2)}{x(x+1)(y+2)}$ y me pregunto cómo obtener esa respuesta. Creo que lo estoy haciendo mal, así que agradecería cualquier consejo u orientación.

Answer 1

Aviso, $$x^2y^2=\frac{y+1}{x+1}$$ $$x^2(x+1)y^2=y+1$$ $$(x^3+x^2)y^2=y+1$$ Ahora, diferenciando ambos lados con respecto a $x$ aplicando la regla de la cadena del siguiente modo $$\frac{d}{dx}(x^3 +x^2)y^2=\frac{d}{dx}(y+1)$$ $$(3x^2+2x)y^2+2(x^3+x^2)y\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}$$ $$2(x^3+x^2)y\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=-(3x^2+2x)y^2$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{-(3x^2+2x)y^2}{2(x^3+x^2)y-1}$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{-(3x+2)xy^2}{2(x+1)x^2y-1}$$

Answer 2

$x^2y^2=(y+1)/(x+1)$
Toma nota de ambas partes,

$log(x^2y^2)=log \frac{y+1}{x+1}$

$log(x^2)+log(y^2)=log(y+1)-log(x+1)$

$2\times log(x)+2\times log(y)=log(y+1)-log(x+1)$

Ahora diferencie ambos lados wrt $x$ ,

$\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\times\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y+1}\times\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x+1}$

$\frac{2}{y}\times\frac{dy}{dx}-\frac{1}{y+1}\times\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x}$

$(\frac{2}{y}-\frac{1}{y+1})\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x}$

$\frac{2y+2-y}{y(y+1)}\frac{dy}{dx}=\frac{-x-2x-2}{x(x+1)}$

$\frac{y+2}{y(y+1)}\frac{dy}{dx}=\frac{-(3x+2)}{x(x+1)}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-(3x+2)}{x(x+1)}\times\frac{y(y+1)}{y+2}$