Definición de la j-invariante de una curva elíptica

Question

Parece que la mayoría de los libros introductorios sobre curvas elípticas se limitan a enunciar la definición de la j-invariante de una curva elíptica sin dar ninguna explicación de cómo se concibió esa definición. Por supuesto, por razones de módulo, está claro por qué uno podría querer tal invariante, pero la fórmula real siempre me ha parecido bastante misteriosa. ¿Alguien conoce alguna fuente autocontenida que explique la definición del invariante j?

Answer 1

En realidad, las notas de Ravi Vakil dan una gran razón (modulo la extraña constante por delante). Esta explicación se da en algún lugar de los Fundamentos de Geometría Algebraica notas aquí http://math.stanford.edu/~vakil/preprints.html#coursenotes . Me baso en la memoria, así que no le atribuyan a él los errores que yo cometa.

Obsérvese que una vez demostrado que toda curva elíptica tiene un modelo afín dado por $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ entonces ya conoce el $j$ -invariante tiene que ser independiente de las diferentes $\lambda$ que obtienes permutando.

Puedes calcular explícitamente que las seis opciones de lambda son las siguientes $\lambda, \frac{1}{\lambda}, 1-\lambda, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda -1}, \frac{\lambda -1}{\lambda}$ .

Algunas primeras opciones obvias para un invariante con respecto a todos estos es multiplicarlos todos juntos. Se obtiene $1$ no es un buen invariante, ya que no sólo no depende de la elección de $\lambda$ pero también es independiente de la curva. Así que también podrías intentar sumarlos todos, oops otra vez, vienen en pares cada uno sumando a $1$ por lo que se suman a $3$ .

Así que vamos a intentar lo siguiente mejor que es sumar los cuadrados. Si lo compruebas, esto es exactamente $j$ invariante (pero sin la constante que está metida para la característica $2$ razones).

Answer 2

En $j$ -tiene la siguiente interpretación clásica.

Considere un modelo $E\subset{\Bbb P}^2$ de la curva elíptica (se sabe que $E$ es un cúbico). Sea $P\in E$ . Hay 4 líneas a través de $P$ que son tangentes a $E$ y se puede demostrar que el conjunto de relaciones cruzadas $c$ de estas 4 líneas son independientes de $P$ . Entonces $$ j=\frac{(c^2-c+1)^3}{c^2(c-1)^2} $$ es invariante bajo las 24 permutaciones de las 4 tangentes (que dan hasta 6 valores diferentes del cociente cruzado) y es la $j$ -de la curva elíptica, hasta la normalización.

Cuando la curva $E$ viene dada en forma Legendre $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ la fórmula del $j$ -se obtiene tomando $P$ el punto en el infinito y las 4 tangentes la recta en el infinito y las rectas $x=0$ , $x=1$ y $x=\lambda$ .