Simplifique $(\sqrt{x}) + x + 2 = (\sqrt{y}) + y + 2$

Question

$\sqrt{x} + x + 2 = \sqrt{y} + y + 2$

Lo he simplificado de la siguiente manera:

$\sqrt{x} + x = \sqrt{y} + y$ cuadra ambos lados

$x + x^2 = y + y^2$

Parece obvio que $x = y$ pero no puedo llegar a esa solución por medios algebraicos.

Answer 1

Pista: $x-y=(\sqrt x +\sqrt y)(\sqrt x - \sqrt y)$

Answer 2

Reescribirlo de la forma $(\sqrt{x}-\sqrt{y})\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=y-x$

Answer 3

Esta es la fórmula correcta si quieres cuadrar: $(\sqrt{x} +x)^2 = x^2 + 2x\sqrt{x} +x$ .

Answer 4

Ambos $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$ son raíces de una ecuación cuadrática: $$t^2+t + c=0$$ por lo tanto $\sqrt{x}=\sqrt{y}$ o $\sqrt{x}+\sqrt{y}=-1$

Answer 5

Es psicológicamente más fácil sustituir $u=\sqrt{x}$ y $v=\sqrt{y}$ para obtener $$u+u^2=v+v^2$$ teniendo en cuenta que $u\ge0$ y $v\ge0$ . Esto se puede reescribir como $$(u-v)+(u^2-v^2)=0$$ o $$(u-v)+(u-v)(u+v)=0$$ que puede reescribirse como $$(u-v)(1+u+v)=0.$$ Desde $1+u+v>0$ esto implica $u-v=0$ Eso es, $u=v$ por lo que la solución es $$x=y\ge0.$$ La última condición se debe a que necesita $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$ por lo que esos números deben ser no negativos.