Relación entre el coeficiente de correlación y el ángulo entre dos rectas de regresión

Question

De: https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson_correlation_coefficient

Interpretación geométrica Líneas de regresión para y = gX(x) [rojo] y x = gY(y) [azul] Líneas de regresión para y = gX(x) [rojo] y x = gY(y) [azul].

Para los datos no centrados, existe una relación entre la correlación y el ángulo entre las dos rectas de regresión, y = gX(x) y x = gY(y), obtenidas mediante la regresión de y en x y de x en y respectivamente. (Aquí, se mide en sentido contrario a las agujas del reloj dentro del primer cuadrante formado alrededor del punto de intersección de las rectas si r > 0, o en sentido contrario a las agujas del reloj desde el cuarto al segundo cuadrante si r < 0). Un puede demostrar[18] que si las desviaciones típicas son iguales, entonces r = sec tan , donde sec y tan son funciones trigonométricas.

¿Cómo podemos demostrar esta relación mencionada anteriormente: r = sec tan ?

Answer 1

Trabajo basado en la referencia indicada ([ 18 ]).

Las ecuaciones de las dos rectas de regresión son

$$ x= a_{xy} + b_{xy} y \\ y= a_{yx} + b_{yx} x $$

Si los graficamos, tendrán gradientes de $b_{yx}$ y $\frac{1}{b_{xy}}$ respectivamente.

La relación entre estos coeficientes de regresión, las desviaciones típicas ${s_x}, {s_y}$ en $x$ y $y$ y la correlación $r$ es:

$$ b_{xy} = r\frac{s_x}{s_y},\quad \text{and} \quad b_{yx} = r\frac{s_y}{s_x} $$

Así, en el caso de que $s_x=s_y$ las dos líneas de regresión tienen gradientes de $r$ y $1/r$ .

A continuación, supondré que $0<r<1$ . En el caso de que $r=1$ las dos rectas son la misma recta, por lo que el ángulo es cero; y en el caso de que $r=0$ las dos líneas son ortogonales. Puedes demostrar que cada uno de estos casos satisface la identidad que te interesa con una sustitución. Para el caso de que $r<0$ la misma idea de la prueba funciona, sólo tienes que darle la vuelta a toda la imagen en tu mente.

Lema 1: el ángulo entre dos líneas con gradientes $m_1$ y $m_2$ viene dada por la ecuación

$$\tan (\phi) = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2}$$

Prueba: La línea con gradiente $m_1$ forma un ángulo de $\theta_1 = \tan^{-1}(m_1)$ con el $x$ -eje. La línea con gradiente $m_2$ forma un ángulo de $\theta_2 = \tan^{-1}(m_2)$ con el $x$ -eje. Así que el ángulo entre las líneas es:

$$ \phi = \theta_1 - \theta_2 = \tan^{-1}(m_1) - \tan^{-1}(m_2) $$

Entonces podemos utilizar el fórmula del ángulo compuesto para broncearse:

$$ \tan(\phi) = \tan\left( \tan^{-1}(m_1) - \tan^{-1}(m_2) \right) \\ =\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \qquad \square $$

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Entonces, aplicando esto a nuestra ecuación, aprendemos que

$$ \tan(\phi) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{r} - r\right) $$

Podemos demostrar que esta ecuación se cumple mediante $r=\sec(\phi)-\tan(\phi)$ sustituyendo esta ecuación en el lado derecho y demostrando que se reduce al lado izquierdo.

Sea $r=\frac{1-\sin(\phi)}{\cos{\phi}}$ . Entonces:

$$ RHS = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{r} - r\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\cos{\phi}}{1-\sin(\phi)} - \frac{1-\sin(\phi)}{\cos{\phi}}\right) \\ = \frac{1}{2}\left(\frac{ \cos (\phi)^2 - (1-\sin(\phi))^2}{\cos(\phi)(1-\sin(\phi))}\right) \\ = \frac{1}{2}\left(\frac{ 1 - \sin(\phi)^2 - \left(1-2\sin(\phi)+\sin(\phi)^2\right)}{\cos(\phi)(1-\sin(\phi))}\right) \\ = \frac{1}{2}\left(\frac{ 2\sin(\phi) - 2\sin(\phi)^2}{\cos(\phi)(1-\sin(\phi))}\right) \\ = \frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)} = LHS \quad \square $$