Hace teorema de de Rham presionado para colectores con el límite?

Question

Estoy siguiendo el de J. Lee el libro de "Introducción a la Suave Colectores", 2ª ed., página 480-486 para aprender el teorema de de Rham. Está demostrado en los colectores sin límite, lo que me hace curioso acerca de si se mantiene para los colectores con límite. Al menos en la parte demostrando de Rham cohomology es isomorfo a la $C^\infty$ singular cohomology, no volví a ver un paso a primera vista, donde el colector en cuestión no debe tener límites. ("A primera vista" significa que he comprobado que no cite teoremas como Whitney teorema de aproximación que requiere específicamente que el objetivo de ser sin límite, pero yo no comprobar si todo el cálculo o fórmula que realmente funciona para los colectores con límite.) Yo también trato de buscar más fuentes, y lo que he encontrado sólo hablar del teorema de de Rham en ningún caso límite.

Por lo tanto me pregunto si el teorema de de Rham tiene para los colectores con el límite. Si se produce un error, es cierto que de Rham cohomology es isomorfo a la $C^\infty$ singular cohomology?

Answer 1

Sí, se mantiene para los colectores con límite. Una manera de ver esto es que tenga en cuenta que si $M$ es un buen manifold con frontera, luego de la inclusión del mapa de $\iota\colon \text{Int}\ M\hookrightarrow M$ es un buen homotopy de equivalencia (Thm. 9.26 en ISM), lo que induce isomorphisms de de Rham cohomology (Thm. 17.11). Desde $\iota$ también induce isomorphisms en singular cohomology, y el de Rham homomorphism (integración en cadenas) conmuta con la inclusión, el resultado de la siguiente manera.

(Habría sido una buena idea incluir esta información en el libro, ya sea como un corolario o como un problema. No sé por qué yo no.)