Demostrar que para cualquier $x \ge 0, y\ge 0$ la desigualdad $\frac12(x+y)^2+\frac14(x+y) \ge x \sqrt y + y\sqrt x$ tiene

Question

Demostrar que para cualquier $x \ge 0$ , $y\ge 0$ la desigualdad $$\frac12(x+y)^2+\frac14(x+y) \ge x \sqrt y + y\sqrt x$$ es cierto.

Bien, entonces pensé en la desigualdad de los medios. No sólo sobre la aritmética y la geométrica, sino sobre la media armónica y la cuadrática. Pero dónde puedo usarlas y cómo, realmente no lo sé. También pensé en demostrar que

$$\frac12(x+y)^2 + \frac14(x+y) - (x \sqrt y + y \sqrt x) > 0$$

Tal vez por suposición y contradiciendo la suposición. ¡Todas las ideas son bienvenidas! Gracias.

Answer 1

¡Tengo una idea! Queremos mostrar $$2(x+y)^2 + (x+y) \ge 4(x\sqrt y + y\sqrt x)$$ es decir, $$2x^2 + 2y^2 + 4xy + x + y \ge 4(x\sqrt y + y\sqrt x)$$ En primer lugar, utilizando la desigualdad AM-GM, $$2x^2 + 2y^2 \ge 2\cdot \sqrt{4x^2y^2} = 4xy$$ para que $$2x^2 + 2y^2 + y \ge 4xy + y \tag{1}$$ Utilizando de nuevo la desigualdad AM-GM, $$4xy + y \ge 2\sqrt{4xy^2} = 4y\sqrt x \tag{2}$$ También, $$4xy + x \ge 4x\sqrt y \tag{3}$$ En $(1)$ y $(2)$ tenemos $$2x^2 + 2y^2 + y \ge 4y\sqrt{x} \tag{4}$$ La desigualdad deseada se obtiene añadiendo $(3)$ y $(4)$ .

Answer 2

Basta con demostrar que :

$$ \begin{align}2xy+\frac 14(x+y)&\sqrt {xy}(\sqrt x+\sqrt y)\end{align} $$

por la desigualdad AM-GM.

Entonces, basta con demostrar que :

$$ \begin{align}2xy+\frac 18\left(\sqrt x+\sqrt y\right)^2&\sqrt {xy}\left(\sqrt x+\sqrt y\right)\end{align} $$

por la desigualdad de Cauchy-Schwars.

lo cual es correcto, ya que

$$ \begin{align}16xy+\left(\sqrt x+\sqrt y\right)^2-8\sqrt {xy}\left(\sqrt x+\sqrt y\right)=\\ \left(4\sqrt {xy}-\left(\sqrt x+\sqrt y\right)\right)^20 \thinspace.\end{align} $$

Answer 3

Tenemos que

$$\frac12(x+y)^2+\frac14(x+y) \ge x \sqrt y + y\sqrt x\iff \frac14(x+y)\left[2(x+y)+1)\right] \ge x \sqrt y + y\sqrt x$$

lo que es trivialmente cierto para $xy=0$ suponiendo que $xy\neq 0$ y dividiendo por $\sqrt{xy}$ equivale a $$\frac14\left(\sqrt{\frac xy}+\sqrt{\frac yx}\right)\left[2(x+y)+1)\right] \ge \sqrt x + \sqrt y$$

lo que es cierto, ya que, por AM-GM o reordenación, $\sqrt{\frac xy}+\sqrt{\frac yx}\ge 2$ tenemos

$$\frac14\left(\sqrt{\frac xy}+\sqrt{\frac yx}\right)\left(2(x+y)+1)\right) \ge x+y+\frac12\ge \sqrt x + \sqrt y $$

y esto último es cierto ya que

$$x+\frac14\ge 2\sqrt{\frac x 4}=\sqrt x$$