Un círculo que rueda por la base de un triángulo isósceles tiene longitud de arco constante recortada por los lados laterales.

Question

El problema es del ejercicio 582 de Geometría de Kiselev:

Círculo de radio congruente con la altitud de un isósceles dado está rodando a lo largo de la base. Demostrar que la longitud de arco recortada en el círculo por los lados laterales del triángulo permanece constante.

[Editado] El problema es muy vago, pero la versión correcta es que el círculo debe pasar por el vértice superior o por ambos lados laterales.

Mi intento fue trazar una línea paralela a la base y que pasara por el vértice superior. Entonces el caso en que la circunferencia pasa por el vértice superior es fácil, ya que el ángulo lateral formado por la intersección de la circunferencia y un lado lateral es el mismo que el ángulo lateral del triángulo isósceles dado. Sin embargo, no he podido llegar a la misma conclusión cuando la circunferencia interseca ambos lados laterales.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Dado un triángulo isósceles $\triangle ABC$ con vértice $B,$ extender los lados $AB$ y $CB$ para formar un triángulo especular congruente $\triangle DBE$ . El círculo se inscribe entonces entre las bases paralelas de los triángulos. Sean las intersecciones de los catetos de ambos triángulos con el círculo $P,Q,R,S$ como se muestra en la figura.

Siempre que el vértice $B$ está dentro del círculo, un teorema sobre los arcos interceptados por dos cuerdas de intersección de un círculo dice que la suma de las medidas angulares de los arcos $\stackrel{\frown}{PQ}$ y $\stackrel{\frown}{RS}$ es $2\times \angle CBE.$

Obsérvese que los arcos $\stackrel{\frown}{QR}$ y $\stackrel{\frown}{PS}$ son congruentes.

Consideremos ahora de qué manera exacta todo esto depende de la posición del círculo.