Determinación de 2 funciones complejas

Question

La cuestión es la siguiente:

Sea $\Omega$ sea un dominio en el semiplano superior $\mathbb{H} = \{ z \in \mathbb{C} ~|~ \Im~ z > 0 \}$ . Sea $f,g \in O(\Omega)$ holomórfica, tal que $f(i) = 0~~$ , $f$ es de valor real, y

$$ |f(z)|^2 + 2|g(z)|^2 = |z|^2$$

para todos $z \in \Omega$ . Determine $f$ y $g$ .

Este es mi intento de solución:

deje $z = i$ entonces $f(z) = 0$ y $ 2|g(z)|^2 = |z|^2 = |i|^2 = 1$

Por lo tanto, $$ |g(i)| = 1/2~~~\star$$

Entonces considere $z \in \Omega$ tal que $z \neq i$ entonces:

$$|f(z)|^2 + 2|g(z)|^2 = |z|^2$$ $$f \bar{f} + 2 g \bar{g} = z \bar{z}$$ $$\frac{\partial }{\partial \bar{z}}(f \bar{f}) + 2\frac{\partial}{\partial \bar{z} }(g \bar{g}) = \frac{\partial}{\partial \bar{z}}(z \bar{z})$$ $$f\frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}} + \bar{f}\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} + 2(g\frac{\partial \bar{g}}{\partial \bar{z}}+ \bar{g} \frac{\partial g}{\partial \bar{z}}) = z$$

Los 2 primeros términos son $0$ desde $f$ tiene un valor real, por lo que $f = \bar{f}$ y puesto que $f$ es holomorfa, la derivada con respecto a $\bar{z}$ es también $0$ . También el último término es $0$ desde $g$ es holomorfa.

Así que nos queda : $$ 2g\frac{\partial \bar{g}}{\partial \bar{z}} = z$$ $$2g \overline{\frac{\partial g}{\partial {z}}} = z$$

Entonces $$2gg'(z) = z~~~\star \star$$

Aquí es donde estoy atascado. No sé qué hacer con la información sobre $g$ y si lo encuentro puedo encontrar f pero no se como proceder a partir de aquí.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

La cuestión es más interesante sin asumir $f$ valor real.

Para $z\neq 0$ que tienes:

$$ \left| \frac{f(z)}{z} \right|^2 + 2 \left| \frac{g(z)}{z} \right|^2=1 $$

Elige un punto $w$ en (el interior de) su dominio y deje que $\theta,\phi$ sean reales tales que $e^{i\theta} f(w)/w\geq 0$ y $e^{i\phi} g(w)/w\geq 0$ . Sea $$F(z) = e^{2i\theta} \left(\frac{f(z)}{z}\right)^2 + 2e^{2i\phi} \left( \frac{g(z)}{z} \right)^2.$$ Entonces, para cualquier $z$ tomando valores abs: $|F(z)| \leq 1 = F(w)$ por lo que la función holomorfa $F$ alcanza su máximo en el punto interior $w$ por lo que debe ser constante (=1). Ahora bien, la igualdad $ |u|+|1-u|=1$ implica que $0\leq u\leq 1$ por lo que las dos funciones en $F$ debe ser real, y por tanto constante (ya que es holomorfa). Por lo tanto, $ f(z)=az$ y $g(z)=bz$ con $|a|^2+2|b|^2=1$ . Por último, si $f$ tiene una raíz $a=0$ .