Homotopía de trayectorias en espacios contractibles

Question

Considere la siguiente afirmación:

Sea $K,Y,X$ sean espacios topológicos tales que $K \subseteq Y$ i subespacio y $X$ es contraíble. Entonces dos funciones continuas cualesquiera $f,g :Y \rightarrow X$ de acuerdo en $K$ son homotópicas respecto a $K$ es decir, existe una homotopía $H: [0,1] \times Y \rightarrow X$ s.t. $H_0 = f$ , $H_1 = g$ y $\forall x \in K, t \in [0,1]: H_t(x) = g(x) = f(x)$ .

En la generalidad que lo he escrito aquí, esto es demasiado fuerte y tiene un contraejemplo:

Sea $X = Y$ sea la escoba infinita cerrada, es decir, el subespacio de $\mathbb{R}^2$ que consiste en la unión de todos los segmentos de línea que conectan $(0,0)$ y $(1, \frac{1}{n})$ para $n \in \mathbb{N}$ y $[0,1] \times \{0\}$ y que $K := [0,1] \times \{0\}$ . Sea $f:= \text{id}_{X}$ y que $g: X \rightarrow X$ vía $(x,y) \mapsto (x,0)$ . Entonces supongamos que existe una homotopía $H$ entre $f$ y $g$ en relación con $K$ . Esto implica que $H$ es un repliegue de deformación fuerte de $[0,1] \times \{0\} \rightarrow X$ que no existe. (Esencialmente se reduce al hecho de que bajo los supuestos establecidos $H$ no conserva $(1, \frac{1}{n}) \rightarrow (1,0)$ ).

Pregunta: ¿Es cierta la afirmación para $Y = [0,1]$ , $K = \{0,1\}$ ?

Si $f,g$ son bucles, es decir $f(0) = f(1) = g(0) = g(1)$ entonces el teorema es cierto, ya que todo espacio contractible es simplemente conexo y por tanto $f$ y $g$ son homotópicas nulas.

He probado la versión para trayectorias para los ejemplos patológicos habituales de espacios contractibles, es decir, para el escoba infinita cerrada (que había utilizado para el primer contraejemplo), el espacio peine y el zig-zag-peineta como se da en Hatcher (véase más adelante), pero no pude encontrar un contraejemplo.

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El peine en zig-zag:

Sea $A := [0,1] \times \{0\} \cup \coprod_{q \in \mathbb{Q}} \{q\} \times [0,1]$ y pegar un número contable de copias de $A$ como se indica en la imagen siguiente.

Answer 1

Sí, es cierto, podemos demostrarlo con la ayuda del groupoide fundamental de un espacio topológico. El grupoide fundamental de $X$ se indica $\pi_{\leq1}(X)$ y es una categoría cuyos objetos son puntos en $X$ y las clases de homotopía (relativa) de los caminos entre puntos es su conjunto de morfismos, la composición viene dada por la multiplicación de los caminos, es decir, recorrer el primer camino a doble velocidad y luego el segundo camino a doble velocidad.

Lo importante de esta categoría es que es un grupoide, es decir, que todos los morfismos (caminos) $p(t)$ tienen un inverso (camino) de dos lados dado por $p(1-t)$ . Es importante señalar que $\text{Hom}(x_0,x_0) = \pi_1(X,x_0)$ ya que ambas son clases de homotopía relativas a puntos finales de caminos de $x_0$ a $x_0$ .

Sea $x_0,a \in X$ sea un par arbitrario de puntos entonces vemos que si $p$ es una ruta desde $x_0$ a $a$ (que existe por contractibilidad de $X$ ), dejando que $[-]$ denotan puntos finales relativos de clase homotópica, $[p]:x_0 \rightarrow a$ por definición.

También podemos ver que $[p]$ induce una biyección $[p]_*:\text{Hom}(x_0,x_0) \rightarrow \text{Hom}(x_0,a)$ dada por $[f] \mapsto [p] \circ [f]$ . Se trata de una biyección, ya que una inversa $[p]^{-1}$ a $[p]$ existe.

Para demostrar la inyectabilidad si $[p] \circ [f] = [p] \circ [g]$ entonces $[p]^{-1} \circ [p] \circ [f] = [p]^{-1} \circ [p] \circ [g]$ lo que implica $[f] = [g]$ Así que $[p]_*$ es inyectiva.

Para demostrar la subjetividad si $[q]:x_0 \rightarrow a$ tenemos que $[p] \circ ([p]^{-1} \ [q]) = [q]$ así que $[p]_*$ es suryectiva.

Ahora que hemos demostrado que $\text{Hom}(x_0,x_0) \approx \text{Hom}(x_0,a)$ recordamos que $\text{Hom}(x_0,x_0) = \pi_1(X,x_0)$ pero como $X$ es contraíble $\pi_1(X,x_0)$ es un conjunto de un elemento. Esto implica que $\text{Hom}(x_0,a)$ es también un conjunto de un elemento y, por tanto, nuestro hecho queda demostrado, sólo hay una clase de homotopía relativa a los extremos de $x_0$ a $a$ . Es decir, dos caminos cualesquiera que sean iguales en los puntos finales tienen una homotopía entre ellos.

Tenga en cuenta que no necesitamos que $X$ era contractible, sólo que era camino y simplemente conectado.

Espero que le sirva de ayuda.