Considera una moneda de dos caras. Si la lanzo $1000$ veces y cae cara en cada lanzamiento, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda sea injusta, y cómo lo cuantificamos si es injusta?
Además, ¿seguiría considerándose injusto si salen $50$ caras seguidas? ¿$20$? ¿$7$?
En primer lugar, debes entender que no existe tal cosa como una moneda perfectamente justa, porque no hay nada en el mundo real que se conforme perfectamente a algún modelo teórico. Por lo tanto, una definición útil de "moneda justa" es una que, para propósitos prácticos, se comporta como justa. En otras palabras, ningún ser humano lanzándola durante mucho tiempo, sería capaz de notar la diferencia. Eso significa que se puede asumir que la probabilidad de cara o cruz en esa moneda es de $1/2$.
Si tu moneda en particular es justa (de acuerdo con la definición anterior) o no, no puede asignarse una "probabilidad". En cambio, deben utilizarse métodos estadísticos.
Aquí haces lo que se llama una "hipótesis nula": "la moneda es justa". Luego procedes a calcular la probabilidad del evento que observaste (para ser precisos: el evento, o algo al menos tan "extraño"), asumiendo que la hipótesis nula fuera cierta. En tu caso, la probabilidad de tu evento, 1000 caras, o algo al menos tan extraño, es de $2\times1/2^{1000}$ (eso es porque también cuentas 1000 cruces).
Ahora bien, con estadísticas, nunca puedes decir nada con certeza. Necesitas definir cuál es tu "nivel de confianza". Es como decir en un tribunal "más allá de una duda razonable". Digamos que estás dispuesto a asumir un nivel de confianza de 0.999. Eso significa que, si algo que supuestamente tenía menos de 0.001 de probabilidades de suceder, realmente sucede, entonces dirás, "estoy suficientemente seguro de que mis suposiciones deben estar equivocadas".
En tu caso, si asumes un nivel de confianza del 0.999, y tienes 1000 caras en 1000 lanzamientos, entonces puedes decir, "la suposición de la hipótesis nula debe estar equivocada, y la moneda debe ser injusta". Lo mismo con 50 caras en 50 lanzamientos, o 20 caras en 20 lanzamientos. Pero no con 7, no a este nivel de confianza. Con 7 caras (o cruces), la probabilidad es de $2 \times 1/2 ^ {7}$, que es más de 0.001.
Pero si asumes un nivel de confianza del 95% (lo cual se hace comúnmente en disciplinas menos estrictas de la ciencia), entonces incluso 7 caras significan "injusta".
Observa que nunca puedes realmente "demostrar" la hipótesis nula. Solo puedes rechazarla, basándote en lo que observas que está sucediendo, y tu "estándar de confianza". De hecho, eso es lo que hacen la mayoría de los científicos: rechazan hipótesis basadas en evidencia y los estándares de confianza aceptados.
Si tus eventos no desmienten tu hipótesis, ¡eso no necesariamente significa que debe ser verdadera! Simplemente significa que ha resistido el escrutinio hasta ahora. También puedes decir "los resultados son consistentes con la hipótesis siendo verdadera" (los científicos utilizan esta frase con frecuencia). Si una hipótesis ha estado en pie por mucho tiempo sin que nadie pueda producir resultados que la desmientan, se vuelve generalmente aceptada. Sin embargo, a veces incluso después de cientos de años, podrían surgir nuevos resultados que la desmientan. Así fue el caso de la Relatividad General "desmintiendo" la teoría clásica de Newton.
Esto parece interesante, pero creo que puede haber un enfoque mejor que este, tal vez (no estoy seguro). Desafortunadamente, por ahora no tengo el conocimiento para dar una respuesta. Para mí, el uso de la ley de los grandes números es fundamental aquí o algún análisis a nivel de varianza más que de media.
@Masacroso tu intuición es correcta. Si tuviéramos, por ejemplo, 550 caras de 1000 lanzamientos, querrías calcular no la probabilidad de que exactamente 550 caras ocurran (lo cual es fácil pero incorrecto), sino la probabilidad de que 550 caras o más ocurran. Esto no es tan simple y se necesitan técnicas avanzadas (del tipo que estás mencionando). Pero en la pregunta exacta que se hizo, está bien calcularlo como lo hice.
¿Cómo habría sido tu confianza al rechazar la hipótesis nula (la moneda es justa) si los resultados hubieran sido HTHTHTHTHTH..., una perfecta alternancia entre cara y cruz? ¿O si hubiera sido HTTHHTTHHTTHHTTHH... o de hecho cualquier secuencia específica de resultados?
Si tomas una moneda que has modificado para que siempre caiga en cara y obtienes $1000$ caras, entonces la probabilidad de que sea injusta es del $100\%$.
Si tomas una moneda que has elaborado cuidadosamente para asegurarte de que sea una moneda justa y luego obtienes $1000$ caras, entonces la probabilidad de que sea injusta es del $0\%$.
A continuación, llenas una caja con monedas de ambos tipos, luego tomas una moneda al azar.
$NF$ : monedas justas en la caja.
$NU$ : monedas injustas en la caja.
$P(U)$ : probabilidad de haber tomado una moneda injusta $$P(U) = \frac{NU}{NF + NU}$$
$P(F)$ : probabilidad de haber tomado una moneda justa $$ P(F) = \frac{NF}{NF + NU} = 1 - P(U) $$
$P(H \mid{U})$ : Probabilidad de tener 1000 caras condicionada a haber tomado una moneda injusta $$P(H\mid{U}) = 1 $$
$P(H\mid{F})$ : Probabilidad de tener 1000 caras condicionada a haber tomado una moneda justa $$P(H\mid{F}) = \left( \tfrac{1}{2} \right)^{1000}$$
$P(H)$ : Probabilidad de tener 1000 caras
\begin{align} P(H) &= P(U \cap H) + P(F \cap H)\\ &= P(H \mid{U})P(U) + P(H \mid{F})P(F)\\ &= P(U) + P(H \mid{F})P(F) \end{align}
Aplicando el teorema de Bayes :
$P(U \mid{H})$ : probabilidad de que la moneda sea injusta condicionada a obtener 1000 caras $$P(U\mid{H}) = \frac{P(H \mid{U})P(U)}{P(H)} = \frac{P(U)}{P(U) + P(H\mid{F})P(F)}$$
Y esa es tu respuesta.
Si $P(U)=1/(6 \cdot 10^{27})$ (1 de cada $6 \cdot 10^{27}$ monedas es injusta) y obtienes 1000 caras, entonces la probabilidad de que la moneda sea injusta es \begin{align} \mathbf{99}.&999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\\ &999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\\ &999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\\ &999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999944\% \end{align}
Monedas muy pequeñas como el centavo de Estados Unidos tienen un peso de $2.5g$. Podemos asumir de forma segura que no hay monedas con un peso menor a 1 gramo.
La Tierra tiene un peso de menos de $6 \cdot 10^{27}$ gramos. Por lo tanto, sabemos que hay menos de $6 \cdot 10^{27}$ monedas. Sabemos que hay al menos una moneda injusta (he visto monedas con dos caras y ninguna cruz), por lo tanto sabemos que $P(U) \ge 1/(6 \cdot 10^{27})$.
Y así podemos concluir que si obtienes 1000 caras, entonces la probabilidad de que la moneda sea injusta es al menos \begin{align} \mathbf{99}.&999999999999999999999999999999999999999999
La moneda finlandesa de 1 penique de 1969 pesa solo 0,45g :) -- Pero supongo que hay solo alrededor de $10^{15}$ monedas en el mundo (este discusión termina con alrededor de $2\cdot 10^{12}$ monedas en los EE. UU.).
Muy bueno para incluir datos reales. El método bayesiano funciona mejor en presencia de datos.
Para asignar una probabilidad a este evento, debes comenzar con una probabilidad previa que luego se puede actualizar en función de los datos. Las probabilidades realmente no pueden derivarse solo de la experiencia, es necesario comenzar con algún tipo de "sesgo inductivo" para poder sacar conclusiones a partir de la evidencia.
El enfoque heurístico de la prueba de hipótesis proporciona un marco para tomar decisiones en estas situaciones, pero no pretende asignar probabilidades a esas hipótesis.
En mi comentario, publiqué este enlace a un tratamiento más exhaustivo de la pregunta general que se está haciendo. Sin embargo, responderé directamente la pregunta utilizando el resultado obtenido de las funciones de densidad a posteriori, como se discute en el artículo vinculado.
En particular, notamos que si $r$ es la probabilidad real de que la moneda caiga en "cara" en lugar de "sello", entonces si obtenemos $h$ caras y $t$ sellos, la distribución de $r$ está descrita por la función de densidad de probabilidad $$ f(r\mid T=t; H=h) = \frac{(h+t+1)!}{h! \, t!} r^h(1-r)^t $$ Ahora, digamos que la moneda es "justa" si $r$ (que debería ser exactamente $1/2$) cae entre $0.45$ y $0.55$. Entonces, la probabilidad de que nuestra moneda sea justa, dadas $h$ caras y $t$ sellos, está dada por $$ P = \int_{.45}^{.55}f(r\mid T=t; H=h)\,dr = \frac{(h+t+1)!}{h! \, t!} \int_{0.45}^{0.55} r^h(1-r)^t dr $$ Supongamos que obtenemos $0$ sellos y $h$ caras. Entonces esta probabilidad resulta en $$ P = \int_{.45}^{.55}f(r\mid T=0; H=h)\,dr = (h+1) \int_{0.45}^{0.55} r^h dr = \\ \left. r^{h+1} \right|_{0.45}^{0.55} = (0.55)^{h+1} - (0.45)^{h+1} $$ Como puedes ver, cuanto más consecutivas sean las caras que obtengamos (asumiendo que esta es toda la información que tenemos), menos probable se vuelve que la moneda sea justa. Para $20$ caras seguidas, calculamos $$ P = (0.55)^{21} - (0.45)^{21} = 3.48 \times 10^{-6} $$ Lo cual quiere decir que es extremadamente improbable que la moneda sea justa. La probabilidad de que la moneda sea injusta es, en consecuencia, muy alta.
Ten en cuenta que en este caso, nuestra distribución previa es uniforme. Por lo tanto, la probabilidad de que una moneda sea justa (dado que aún no la hemos lanzado), según esta consideración, es de $1/10$.
Usar una priori uniforme IMO hace que este cálculo sea inútil. Estás asumiendo que hay tantas monedas que dan cara con una probabilidad fija $p$ con $0< p<0.10$ como monedas justas con tu definición ($0.45muy likely to be fair según tu definición, tu conclusión podría ser "probablemente justa" (dependiendo de qué tan pequeña sea la probabilidad a priori de que una moneda sea injusta).
@MarcvanLeeuwen No estoy de acuerdo sobre la "inutilidad" del enfoque, pero sí: esa suposición puede estar demasiado sesgada hacia una moneda injusta. Sin embargo, creo que cambiar la distribución previa solo afecta la probabilidad en, como máximo, un factor constante, por lo que la tasa a la que aumenta la probabilidad de injusticia es precisa.
Para "casi todos" los priors, la respuesta es 100%: tienes que especificar un intervalo de "justicia" para obtener un valor distinto de cero. ¿Por qué? Porque el sesgo $p$ puede ser cualquier número real entre $0$ y $1$, por lo que la probabilidad de que sea un número real muy específico es $1/\infty = 0$; por lo tanto, la probabilidad de que sea $1/2$ es 0.
Sin embargo, lo que puedo decirte es que después de tus lanzamientos, la probabilidad de caras es $$\frac{h + 1}{t + h + 1 + 1} = \frac{1000 + 1}{0 + 1000 + 1 + 1} = \frac{1001}{1002}$$ ...asumiendo que inicialmente creías que la moneda era justa (ver el comentario de @leonbloy bajo la pregunta).
Más generalmente, si la probabilidad de caras $p$ tiene una distribución de prior $\Pr(p)$, entonces la respuesta es:
$$\frac{\int_0^1 p\,p^{1000}(1-p)^{0}\Pr(p) \,dp}{\int_0^1 \phantom{p\,} p^{1000}(1-p)^{0}\Pr(p) \,dp}$$
Observa que para el prior uniforme $\Pr(p) = 1$, esto se degenera a lo que mencioné anteriormente.
La derivación es más larga y probablemente mucho más complicada de lo que puedas esperar, así que la omitiré para ahorrar escritura... si realmente quieres verla, avísame.
(Básicamente, necesitas aplicar la regla de Bayes y simplificar.)
En realidad, un prior uniforme significa que no haces ninguna suposición sobre la imparcialidad de la moneda (todavía obtienes $p(Cara)=0.5$ por ignorancia: dado que no tienes sesgo, ambos resultados son igualmente probables). Una suposición del 100% de que la moneda era justa significaría $Pr(p)=\delta(p-0.5)$, y con eso encontrarías que la moneda es justa con probabilidad 1 sin importar lo que arrojes. Básicamente es el prior de "creencia inquebrantable". En realidad, probablemente usarías un prior que esté centrado alrededor de la moneda justa (porque la mayoría de las monedas son aproximadamente justas, pero no excluirías la probabilidad de que esté sesgada).
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Aquí hay un artículo de Wikipedia dedicado exactamente a esta pregunta.
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Si estás en un barco navegando de Dinamarca a Inglaterra, las probabilidades pueden ser diferentes.
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Y si continuaste el experimento y lo volviste a lanzar otras 1000 veces y salió cara cada vez, entonces tendríamos que considerarlo justo.
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Hay un límite de caracteres de alrededor de 600, por lo que mi respuesta debe ser $1$ (¡a menos que ceda y use la forma estándar!)
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Desde que "justo" e "injusto" son valores cualitativos, déjame dar una respuesta cualitativa: Para 1,000 y 50 caras seguidas --> Apostaría mi vida a que la moneda es "injusta". Para 20 caras seguidas --> No apostaría mi vida a que la moneda es "injusta", aunque parezca serlo. Para 7 caras seguidas --> Consideraría que la moneda es "justa" aunque no apostaría en su contra sin más datos.
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Depende ... ¿cómo es tu anterior en $p$?
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Esto es exactamente el tipo de problema para el que sirve el teorema de Bayes. Una vez que entiendas el teorema, este problema será totalmente trivial.
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Ten en cuenta, si llegas a girar 1000 veces y entonces te das cuenta de que puede ser injusto, no es exactamente justo usar esos datos en tu prueba.
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La frecuencia de caras en una serie de experimentos de lanzamiento depende de muchos factores, principalmente de las condiciones iniciales y de los límites de cada experimento (la forma en que se lanza la moneda). La moneda en sí misma es solo uno de esos factores. Se sigue que la serie resultante de valores no describe el comportamiento de la moneda por sí sola, sino toda la serie de experimentos de lanzamiento, incluido el agente que la lanza. El término "moneda justa" es problemático; ¿cómo lo definirías?
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Lectura valiosa: E. T. Jaynes, Teoría de la probabilidad La lógica de la ciencia, cap. 10. Física de los 'experimentos aleatorios'
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No se ha definido ningún espacio de probabilidad (incluso conceptualmente) para la probabilidad sobre la que pregunta. Por lo tanto, me temo que su pregunta carece de sentido.
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En realidad, si defines "justo" como "la probabilidad de caer en cara es exactamente 0.5", entonces la probabilidad de que la moneda sea justa es cero, independientemente de los resultados que hayas obtenido al lanzarla.
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Hey high roller. Acome aquí. Déjame mostrarte un truco.