Sobre la definición de productos libres

Question

Estoy un poco confuso sobre la definición de productos gratuitos. Dada una colección de grupos $\{G_\alpha\}_\alpha$ para crear su producto gratuito, no entiendo qué propiedades tienen estos $G_\alpha$ debe tener. Te cuento tres circunstancias diferentes que conocí estudiando esta definición.

1) En algunos foros y notas muy breves he leído que tengo que considerar la unión disjunta de las $G_\alpha$ y definimos una palabra como una cadena de elementos de esta unión disjunta.

2) En otros los autores escogen grupos genéricos y cuando quieren demostrar que el producto libre existe, algunos suponen que los grupos son disjuntos por pares, otros que tienen la unidad $1$ en común. Esto me confunde mucho. Así que a partir de esto, ¿no es escribir $\mathbb Z*\mathbb Z$ ¿un abuso de notación? Es decir, si tengo que considerar el producto libre de dos grupos iguales, como $\mathbb Z*\mathbb Z$ significa que, en realidad, lo que escribí es un producto libre de dos grupos disjuntos, ambos isomorfos a $\mathbb Z$ ?

3) Otros libros no mencionan este problema. Sólo dan las definiciones escogiendo grupos genéricos pero no piensan en el caso donde dos o más grupos son iguales.

Entonces, ¿cuál es la definición real? ¿Por qué hay confusión al respecto? Además, no encuentro ninguna referencia muy buena que trate el enfoque de la unión disjunta ni que explique cómo y si estas diferentes definiciones son equivalentes.

Answer 1

Ya que en los comentarios has mencionado que tienes y conoces Topología de Munkres, y creo que Munkres adopta un enfoque similar al que se discute en tu pregunta, lo usaré como guía y explicaré algo de lo que sucede allí.

En primer lugar, para construir un ejemplo de un producto libre de grupos, normalmente se pasa por esta definición reducida de palabras, en cuyo caso se necesitan grupos disjuntos, de lo contrario hay interacción entre subgrupos. Esto es puramente conveniente para la construcción, y no es necesario para la definición de productos libres (aunque esto es en realidad lo que Munkres toma como la definición de producto libre de grupos).

A continuación, Munkres define lo que significa ser un producto libre externo de $G_\alpha$ relativo a monomorfismos $i_\alpha:G_\alpha \to G$ ser cuando $G$ es un producto libre de $i_\alpha(G_\alpha)$ . Tenga en cuenta que no requiere $G_\alpha$ ser disjuntos, pero por su definición de producto libre el $i_\alpha(G_\alpha)$ deben ser disjuntos. Para demostrar que dado $\{G_\alpha\}$ que siempre existe un producto libre externo, lo que hace Munkres es pasar a suponer que son disjuntos, lo que se puede hacer pasando a $\{G_\alpha \times \{\alpha\} \}$ y hacer la construcción de la palabra. Tomando esta ruta hay monomorfismos naturales $j_\alpha:G_\alpha \times \{\alpha \} \to G$ Así que $G$ es un producto libre externo de esta colección, y existen isomorfismos naturales $\iota_\alpha:G_\alpha \to G_\alpha \times \{\alpha \}$ Así que $i_\alpha= j_\alpha \iota_\alpha$ es una colección de monomorfismos, y $G$ es de hecho un producto libre externo del $G_\alpha$ y realmente no tienes que asumir la $G_\alpha$ son disjuntos, sólo es útil para la construcción real. Este "pequeño truco" se utiliza con frecuencia en otros lugares (básicamente siempre que se construyen cosas a partir de mapas que satisfacen ciertas propiedades), y creo que es una de esas cosas que Munkres, y otros probablemente esperarían que rellenaras o "simplemente supieras" cómo hacer/no afecta a nada.

En un par de las otras respuestas aquí, los productos libres se define en términos de propiedad universal (Munkres utiliza el término condición de extensión, o algo similar), y tenga en cuenta que esto no supone que las cosas son disjuntas tampoco, por esencialmente las mismas razones por las que no requieren el producto libre externo a no ser disjuntos.

En un ejemplo un poco más concreto, si queremos pensar en $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}$ (que no es más que un nombre para un grupo que satisface alguna propiedad universal) en términos de producto libre externo, obtenemos que hay monomorfismos $i_1,i_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} * \mathbb{Z}$ tal que $i_1(\mathbb{Z}) \cap i_2(\mathbb{Z})= \{id\}$ y es un producto gratuito $i_1(\mathbb{Z})*i_2(\mathbb{Z})$ en el sentido reducido de la palabra.

Si buscas en Munkres no creo que nunca escriba algo como $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}$ Básicamente porque no está de acuerdo con su enfoque, pero a partir del ejemplo anterior es bastante fácil ver lo que eso significaría, independientemente del enfoque que se adopte para entender los productos libres.

Answer 2

Digamos que tenemos dos grupos arbitrarios $G$ y $H$ con generadores $\{ g_i \}$ y $\{ h_i \}$ . El espíritu de $G \ast H$ es "Quiero hacer un grupo usando $G$ y $H$ donde las únicas relaciones son las que ya existían entre los $g_i$ y $h_i$ ". Aunque algunos elementos de $G$ y $H$ son iguales en algún sentido externo, queremos distinguirlos internamente "etiquetándolos" con $G$ o $H$ .

Así que si ambos $G$ y $H$ eran $\mathbb{Z}$ si dijera que el $2$ en $G$ era igual al $2'$ en $H$ se estaría introduciendo una relación entre elementos de $G$ y $H$ . Porque "libre" significa "tan genérico como sea posible", no deberíamos hacer esto.

Además, ¿y si $G$ eran los números enteros, y $H$ fue $\{ 2^k \mid k \in \mathbb{Z} \}$ bajo multiplicación? Realmente no queremos identificar $1 \in G$ con $1 \in H$ ahora, porque es la identidad en $H$ pero no $G$ . Si forzamos $1 \in G$ sea la identidad, ya que genera $G$ todos los elementos de $G \hookrightarrow G \ast H$ sería trivial, por lo que sólo tendríamos $G \ast H \cong H$ y eso sería extraño.

Si estás familiarizado con las presentaciones, esto puede ayudarte: $$ \langle g_1, \ldots, g_n \mid r_1, \ldots r_k \rangle \ast \langle h_1, \ldots, h_m \mid s_1, \ldots s_l \rangle \\ = \langle g_1, \ldots, g_n, h_1, \ldots, h_m \mid r_1, \ldots r_m, s_1, \ldots s_l \rangle $$

Answer 3

Suma amalgamada en la categoría de grupos:

Sea $G_1$ y $G_2$ son dos grupos $j_i:H\hookrightarrow G$ , $i=1,2$ dos grupos monomorfismos. El grupo suma amalgamada de $G_1$ y $G_2$ o $H$ existe y simbolizado por $G_1\sqcup_HG_2$ . se define por el dos propiedades universales siguientes: a) $G_i$ se inyecta en $G_1\sqcup_HG_2$ como grupo por monomorfismos $f_i$ , $i=1,2$

b) para cada grupo morfismos $g_i\rightarrow K$ , $i=1,2$ , hay existe un único morfismo de grupo $h: G_1\sqcup_HG_2 \rightarrow K$ s.t $ hf_i = g_i$ , $i=1,2$ .

Caso especial: si $H$ es el grupo trivial $H = \{e\}$ entonces el suma amalgamada de $G_1$ y $G_2$ sobre $H$ es exactamente el producto $ G_1* G_2$ w $G_1\sqcup G_2$ de reunión disjunta $G_1$ y $G_2$ .

Answer 4

Definición. Una colección indexada de conjuntos, denotada $\{X_i, i\in I\}$ es un conjunto $X$ cuyos elementos son conjuntos $X_i$ junto con una función suryectiva $\iota: I\to X$ , $i\mapsto X_i$ .

Ejemplo: $X= \{{\mathbb Z}_i, i\in \{1,2\}\}$ es decir, tenemos el conjunto $X=\{ {\mathbb Z}\}$ , $I=\{1,2\}$ y $\iota: I\to X$ la única función constante.

Definición. Sea $\{G_i: i\in I\}$ sea una colección indexada de grupos y supongamos que para cada $i\in I$ se nos da un homomorfismo $\phi_i: G_i\to G$ . A continuación, el grupo $G$ se dice que es el producto libre de los grupos $G_i$ con respecto a los homomorfismos $\phi_i$ si se cumple la siguiente condición de universalidad: Para cada grupo $H$ y una colección de homomorfismos $\psi_i: G_i\to H$ existe un homomorfismo único $f: G\to H$ tal que $f\circ \phi_i= \psi_i$ para cada $i\in I$ .

Véase W.Massey, "Algebraic Topology: An Introduction", p. 97.

Obsérvese que Massey se salta la definición de colección indexada de conjuntos, con la que supone que el lector está familiarizado (por un curso de teoría de conjuntos o de topología general).

Teniendo en cuenta esta definición, toda la cuestión de los grupos $G_i$ que sean disjuntos, distintos, etc., es irrelevante. Por ejemplo, para el producto libre ${\mathbb Z} \star {\mathbb Z}$ , tienes $\{G_i, i\in I\}= \{{\mathbb Z}_i, i\in \{1,2\}\}$ como se ha comentado anteriormente.

Answer 5

Es fácil definir el producto libre $A*B$ de dos grupos $A,B$ como un conjunto. Son sólo las uniones disjuntas para $n\in \bf N$ de "palabras" de longitud $n$ ", con $e$ como una palabra de longitud $0$ , $a_1b_2....a_{n-1}b_n$ con $a_i\in A, b_i\in B$ y $a_i\not =1$ si $i>1$ , $b_j\not =1$ si $j<n$ . Lo que es más complicado es definir el producto (concatenar y reducir) en este conjunto ; el punto difícil es comprobar que este producto es asociativo.