Ya que en los comentarios has mencionado que tienes y conoces Topología de Munkres, y creo que Munkres adopta un enfoque similar al que se discute en tu pregunta, lo usaré como guía y explicaré algo de lo que sucede allí.
En primer lugar, para construir un ejemplo de un producto libre de grupos, normalmente se pasa por esta definición reducida de palabras, en cuyo caso se necesitan grupos disjuntos, de lo contrario hay interacción entre subgrupos. Esto es puramente conveniente para la construcción, y no es necesario para la definición de productos libres (aunque esto es en realidad lo que Munkres toma como la definición de producto libre de grupos).
A continuación, Munkres define lo que significa ser un producto libre externo de $G_\alpha$ relativo a monomorfismos $i_\alpha:G_\alpha \to G$ ser cuando $G$ es un producto libre de $i_\alpha(G_\alpha)$ . Tenga en cuenta que no requiere $G_\alpha$ ser disjuntos, pero por su definición de producto libre el $i_\alpha(G_\alpha)$ deben ser disjuntos. Para demostrar que dado $\{G_\alpha\}$ que siempre existe un producto libre externo, lo que hace Munkres es pasar a suponer que son disjuntos, lo que se puede hacer pasando a $\{G_\alpha \times \{\alpha\} \}$ y hacer la construcción de la palabra. Tomando esta ruta hay monomorfismos naturales $j_\alpha:G_\alpha \times \{\alpha \} \to G$ Así que $G$ es un producto libre externo de esta colección, y existen isomorfismos naturales $\iota_\alpha:G_\alpha \to G_\alpha \times \{\alpha \}$ Así que $i_\alpha= j_\alpha \iota_\alpha$ es una colección de monomorfismos, y $G$ es de hecho un producto libre externo del $G_\alpha$ y realmente no tienes que asumir la $G_\alpha$ son disjuntos, sólo es útil para la construcción real. Este "pequeño truco" se utiliza con frecuencia en otros lugares (básicamente siempre que se construyen cosas a partir de mapas que satisfacen ciertas propiedades), y creo que es una de esas cosas que Munkres, y otros probablemente esperarían que rellenaras o "simplemente supieras" cómo hacer/no afecta a nada.
En un par de las otras respuestas aquí, los productos libres se define en términos de propiedad universal (Munkres utiliza el término condición de extensión, o algo similar), y tenga en cuenta que esto no supone que las cosas son disjuntas tampoco, por esencialmente las mismas razones por las que no requieren el producto libre externo a no ser disjuntos.
En un ejemplo un poco más concreto, si queremos pensar en $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}$ (que no es más que un nombre para un grupo que satisface alguna propiedad universal) en términos de producto libre externo, obtenemos que hay monomorfismos $i_1,i_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} * \mathbb{Z}$ tal que $i_1(\mathbb{Z}) \cap i_2(\mathbb{Z})= \{id\}$ y es un producto gratuito $i_1(\mathbb{Z})*i_2(\mathbb{Z})$ en el sentido reducido de la palabra.
Si buscas en Munkres no creo que nunca escriba algo como $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}$ Básicamente porque no está de acuerdo con su enfoque, pero a partir del ejemplo anterior es bastante fácil ver lo que eso significaría, independientemente del enfoque que se adopte para entender los productos libres.