Normalización del nivel de Chern-Simons en $SO(N)$ teoría gauge

Question

En una teoría gauge SU(N) 3d con acción $\frac{k}{4\pi} \int \mathrm{Tr} (A \wedge dA + \frac{2}{3} A \wedge A \wedge A)$ donde los generadores se normalizan a $\mathrm{Tr}(T^a T^b)=\frac{1}{2}\delta^{ab}$ es bien sabido que el nivel de Chern-Simons $k$ se cuantifica a valores enteros, es decir $k \in \mathbb{Z}$ .

Mi pregunta es sobre la cuantización análoga en $SO(N)$ teorías gauge (Una normalización más estándar en este caso sería $\mathrm{Tr}(T^a T^b)=2\delta^{ab}$ ). En un artículo (bastante difícil) de Dijkgraaf y Witten se analizan algunas sutilezas relacionadas con este tema Teorías topológicas de galgas y cohomología de grupos, pero no estoy seguro del resultado final.

¿Alguien sabe cómo normalizar correctamente el término de Chern-Simons en $SO(N)$ teorías gauge, ¿o conoce alguna referencia donde se explique esto?

Answer 1

Permítanme normalizar la acción como $$S=\frac{k}{4\pi}\int\langle A\wedge dA + \frac{1}{3} A\wedge[A\wedge A]\rangle$$ para $\langle,\rangle$ siendo la forma Asesina. Esto coincide con su normalización para $SU(N)$ .

Variación de la acción de Chern-Simons bajo una transformación gauge $g:M\rightarrow G$ viene dado por $$S\rightarrow S + \frac{k}{24\pi}\int_{g_*[M]} \langle\theta\wedge[\theta\wedge\theta]\rangle,$$ donde $\theta\in\Omega^1(G;\mathfrak{g})$ es la forma Maurer-Cartan (Proposición 2.3 en http://arxiv.org/abs/hep-th/9206021 ). El último término también se denomina término de Wess-Zumino. Por lo tanto, $\exp(iS)$ es invariante si $$\frac{k}{24\pi}\int_{[C]} \langle\theta\wedge[\theta\wedge\theta]\rangle\in2\pi\mathbf{Z}$$ para $[C]$ el generador de $H_3(G;\mathbf{Z})$ .

Para $G=SO(N)$ la homología está generada por $SO(3)\subset SO(N)$ y ese término se puede calcular de la siguiente manera. Como usted dice, $$\frac{1}{24\pi}\int_{SU(2)} \langle\theta\wedge[\theta\wedge\theta]\rangle=2\pi,$$ pero $SU(2)\rightarrow SO(3)$ es un difeomorfismo local 2:1, por lo que $$\frac{1}{24\pi}\int_{SO(3)} \langle\theta\wedge[\theta\wedge\theta]\rangle=\pi.$$

Por lo tanto, el nivel $k$ en este caso tiene que ser par. Véase también el apéndice 15.A en el libro de teoría de campos conformes de Di Francesco, Mathieu y Senechal.

Answer 2

¿Podemos simplemente comentar que el $\text{Tr}[T^a_rT^b_r]\equiv C(r) \delta^{ab}$ depende de la representación. Para el caso de SU(2) y SO(3), podemos relacionarlo con la representación de espín-S. De la manera que para el grupo SU(2) está en una representación de espín 1/2 y el grupo SO(3) está en una representación de espín 1. Se puede escribir la relación de los operadores de espín como: $$ S_x^2+S_y^2+S_z^2=S(S+1) \;\mathbb{I}_{2s+1}. $$ ( $\hbar=1$ ). Y $$ \sum_a(S^a)^2=S_x^2+S_y^2+S_z^2=\sum_{a=x,y,z}(T^a)^2=3 (T^b)^2 $$ aquí $b$ puede ser $x,y,z$ . Así pues, combina las dos relaciones anteriores: $$ \frac{1}{2}\text{Tr}[T^a_rT^b_r]=\frac{1}{2}\frac{S(S+1)}{3}\text{Tr}[\mathbb{I}_{2s+1}]=\frac{S(S+1)(2S+1)}{6} $$ Para SU(2), representación de espín-1/2, tenemos: $$ \text{Tr}[T^a_rT^b_r]=2\frac{S(S+1)(2S+1)}{6}|_{S=1/2}=1/2 $$ Para SO(3), representación de espín 1, tenemos: $$ \text{Tr}[T^a_rT^b_r]=2\frac{S(S+1)(2S+1)}{6}|_{S=1}=2 $$ .

Para la representación de espín-3/2, tenemos: $$ \text{Tr}[T^a_rT^b_r]=2\frac{S(S+1)(2S+1)}{6}|_{S=3/2}=5, $$ etc. Digamos que la cuantización de nivel k de SU(2) C-S y SO(3) C-S están así relacionadas por un factor de: $$(1/2)/2=1/4.$$

Y este valor de cuantización presumiblemente es un valor cuantificado medible para el conductancia spin-Hall . Véase, por ejemplo, el debate de este documento: Fases topológicas protegidas por simetría con simetrías de carga y espín: teoría de respuesta y teoría de gauge dinámica en 2D, 3D y la superficie de 3D: arXiv-1306.3695v2 en la Ec(26) y su p.7 columna derecha y en la p.8 columna izquierda. Véase también Artículo de Phys Rev B .

Esta forma de interpretación simplifica el argumento matemático de Dijkgraaf-Witten o Moore-Seiberg a un nivel muy físico del espín $S$ propiedad. ¿Está de acuerdo?

¿Alguna otra idea o comentario?