I $$x + y + z = n$$ Quiero minimizar el $\max\{x,y,z\}$ .
Según mi intuición, está claro que el máximo se minimizará cuando $x=y=z$ . Pero, ¿cómo puedo demostrarlo matemáticamente?
Respuesta
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La función $f(x) = \max_k x_k$ es convexo, y el conjunto $F = \{ x | \sum_k x_k = n \}$ es convexa.
Tenga en cuenta que $f(x) = f(Px)$ para cualquier permutación $P$ (y $P F = F$ ).
Sea ${\cal P}$ sea el conjunto de permutaciones de los índices de $x$ .
Desde $f$ es convexa, tenemos $f( {1 \over |{\cal P}|}\sum_{P \in {\cal P}} Px ) = f(\bar{x}) \le {1 \over |{\cal P}|} \sum_{P \in {\cal P}} f(Px) = f(x)$ donde $\bar{x} = {1 \over |{\cal P}|}\sum_{P \in {\cal P}} Px = ({1 \over n}\sum_k x_k) (1,...,1)$ .
Desde $\sum_k x_k = n$ vemos que $f$ se minimiza en $F$ en $(1,...,1)$ .
Enfoque más sencillo :
El principio del agujero de paloma demuestra que si $x \in F$ entonces hay algún $k$ tal que $x_k \ge 1$ . Por lo tanto $f(x) \ge 1$ para todos $x \in F$ . Desde $f((1,...,1)) = 1$ vemos que $(1,...,1)$ es un (el) minimizador de $f$ en $F$ .
