La definición más general que se me ocurre es una finito localmente libre es decir, un morfismo de esquemas $f\colon X \to Y$ tal que:
- $f$ es un morfismo afín, es decir, si $U \subseteq Y$ es cualquier subconjunto abierto afín, entonces $f^{-1}(U) \subseteq X$ también es afín; y
- $f_* \mathcal{O}_X$ es un finito localmente libre $\mathcal{O}_Y$ -lo que significa que para cada $y \in Y$ hay un barrio abierto $U \subseteq Y$ de $y$ tal que $f_* \mathcal{O}_X \rvert_U \cong \bigoplus_{i=1}^r \mathcal{O}_Y \rvert_U$ como $\mathcal{O}_Y \rvert_U$ -para algún módulo finito $r$ llamada rango ou grado de $f$ en $y$ .
En este caso, $Y$ puede escribirse como una unión disjunta de subesquemas abiertos y cerrados en los que el rango/grado es constante. En particular, si $Y$ es conexo, entonces el grado de $f$ es una constante.
Para entender cómo se comporta ante un cambio de base, podemos pasar a un parche abierto afín como el anterior, por lo que la situación es que $A \subseteq B$ es una extensión de anillos tal que $B \cong \bigoplus_{i=1}^r A$ como $A$ -y $C$ es un $A$ -álgebra. Entonces $$B \otimes_A C \cong \Bigl( \bigoplus_{i=1}^r A \Bigr) \otimes_A C \cong \bigoplus_{i=1}^r (A \otimes_A C) \cong \bigoplus_{i=1}^r C.$$ Así, $B \otimes_A C$ es un $C$ -de rango $r$ . (Obsérvese también que el cambio de base de un morfismo afín es afín.) Esto demuestra que el grado es invariante bajo cambio de base.
Un par de advertencias:
- Para que la noción de rango de un módulo libre sobre un anillo esté bien definida, el anillo debe tener el valor número de base invariante propiedad. Todos los anillos conmutativos no nulos tienen esta propiedad, por lo que esto es sobre todo de interés en la teoría de anillos no conmutativos, no en la geometría algebraica. Sin embargo, el anillo cero es un caso límite aquí, que corresponde al hecho de que si cambias de base al esquema vacío, te quedas con el morfismo vacío, que no tiene un grado bien definido.
- Algunas fuentes (por ejemplo, la obra de Qing Liu Geometría algebraica y curvas aritméticas o esta respuesta de MathOverflow ) hablan del grado de un morfismo finito dominante de esquemas integrales localmente noetherianos sin requerir planitud. Por ejemplo, el morfismo de normalización de un cúbico nodal es finito de grado genérico uno, pero no es plano en el nodo, como atestigua el hecho de que la preimagen del nodo tiene dos elementos, no uno. Como se discute en la respuesta enlazada, el grado en tales casos se conserva mediante el cambio de base plana, pero no mediante el cambio de base arbitrario. Yo preferiría describir esta noción como el "grado genérico" en lugar de simplemente el "grado".
