Identificación del estado de los tipos de partículas con representaciones del grupo de Poincare

Question

En el segundo capítulo del primer volumen de sus libros sobre QFT, Weinberg escribe en el último párrafo de la página 63:

En general, puede ser posible utilizando combinaciones lineales adecuadas del $\Psi_{p,\sigma}$ para elegir el $\sigma$ de tal forma que la matriz $C_{\sigma'\sigma}(\Lambda,p)$ es diagonal en bloque; en otras palabras, para que el $\Psi_{p,\sigma}$ con $\sigma$ dentro de un bloque cualquiera proporcionan por sí mismos una representación del grupo de Lorentz no homogéneo.

Continúa:

Es natural identificar los estados de un tipo específico de partícula con los componentes de una representación del grupo de Lorentz no homogéneo que es irreducible, en el sentido de que no puede descomponerse más de esta manera.

Mis preguntas son:

1. ¿Cómo puede ser cierta la primera cita? ¿Por qué es posible? Por favor, esboza un esquema de la prueba o haz referencia a algún material que pueda ser útil.

2. ¿A qué se refiere en la segunda cita? He encontrado algo de material en la red y en Physics.SE al respecto, pero no he encontrado ningún tratamiento que me satisfaga. Por favor, precise en qué consiste la correspondencia y si es o no biyectiva (como parecen indicar algunos relatos).

3. ¿Qué relación existe entre el "tipo específico de partícula" de Weinberg y la "partícula elemental" utilizada en los relatos de esta correspondencia?

4. ¿Cuál es la definición de "estado de una partícula"? ¿Es esta correspondencia una forma de definirlo? En caso afirmativo, ¿cuál es su relación con la forma en que pensamos intuitivamente en tales estados? (Por supuesto, la respuesta de esta pregunta depende en gran medida de la respuesta de la 2, pero sólo lo he preguntado para enfatizar cuál es mi consulta específica).

Answer 1

1. Esto sólo dice que se puede descomponer cualquier representación unitaria del grupo de Poincare (= grupo de Lorentz no homogéneo) en representaciones irreducibles.

2. Sugiere identificar las representaciones irreducibles con las partículas elementales, como sugiere la analogía irreducible = ya no descomponible = elemental. En realidad no explica por qué (sino que sólo afirma que) es natural hacer eso - esto es resumir la experiencia de varias generaciones de físicos de partículas: Una partícula puede ser movida, rotada y potenciada, por lo tanto (en el espacio-tiempo plano) su espacio de Hilbert debe llevar un rep unitario del grupo de Poincare. La partícula se trata como elemental si esta rep es irreducible, ya que no puede descomponerse. Lo que se considera elemental depende de la resolución: en química relativista, todos los núcleos se tratan como partículas elementales, ya que el grupo de Poincare actúa irreduciblemente en su espacio de Hilbert. En física nuclear, los núcleos se modelan con más detalle como partículas compuestas con un espacio de Hilbert mucho más complejo y una representación reducible del grupo de Poincare en él. Así, Weinberg define efectivamente la noción de partícula elemental (en los modelos matemáticos) como una representación irreducible del grupo de Poincare.

3. Teniendo en cuenta la clasificación de Wigner de las representaciones unitarias irreducibles de Poincare, rederivada por Weinberg en el capítulo 5, las partículas elementales se clasifican en tipos de partículas por su masa y espín. El espacio de Hilbert de una partícula elemental de masa $m>0$ y girar $s$ es el espacio de $2s+2$ -funciones de onda de componentes $\psi(p)$ con $p_0=\sqrt{\mathbf{p}^2+(mc)^2}$ (que define la envoltura de masa $m$ ), con la correspondiente representación irreducible del grupo de Poincare. (Para el caso sin masa, véase el punto 4.) Una representación unitaria consiste en un espacio de Hilbert y operadores sobre este espacio que generan el grupo (o una imagen homomórfica del mismo). Para más detalles, véanse los capítulos B1 y B2 de mi FAQ en http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physfaq/physics-faq.html

El modelo estándar refina esta clasificación especificando también la representación irreducible del grupo gauge de simetrías internas, dando lugar a más números cuánticos. Los números cuánticos conservados no son más que etiquetas que indican qué representaciones irreducibles están asociadas a la partícula etiquetada por estos números.

4. Un estado de una partícula es un estado en el espacio de Hilbert de una representación irreducible del grupo de Poincare (ampliado por la simetría CTP, por razones de causalidad). Dados los resultados del capítulo 5 de Weinberg, esto dice que en el espacio de momento, se tiene una función de onda $\psi(p)$ con 4D $p$ en la envoltura de masa con masa $m$ y $2s+2$ componentes para el giro $s$ si $m>0$ pero $2$ componentes (independientes del espín) si $m=0$ .

No creo que nadie entienda a Weinberg en una primera lectura; aunque es el mejor libro de QFT que existe si quieres entender las razones más profundas de por qué la QFT relativista es como es. Así que es posible que tengas que tomar algunas cosas basándote en una comprensión preliminar, ya que una comprensión adecuada de lo que todo significa requiere al menos que hayas cubierto los 6 primeros capítulos.