Para una hoja de problemas en la uni, necesito encontrar valores propios y estados propios normalizados de un operador lineal. Este operador es $\hat{Q}$ y se define por su acción sobre los estados propios normalizados del Hamiltoniano del sistema: $\hat{Q}\psi_1=\psi_2$ , $\hat{Q}\psi_2=\psi_1$ , $\hat{Q}\psi_n=0$ para $n>2$ . Pensaba que la forma de trabajar de los operadores es que siempre resuelven la ecuación $\hat{Q}\psi_1=(eigenvalue) \psi_1$ así que no entiendo muy bien cómo es posible la forma del operador que me dan. ¿Alguien me lo puede explicar?
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Tavo
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Los Estados $\psi_n$ no son estados propios del operador $\hat{Q}$ sólo el Hamiltoniano. Así, mientras $\psi_n$ satisfacer $$\hat{H}\psi_n = E_n \psi_n,$$ en general $$\hat{Q}\psi_n \not \propto \psi_n.$$
Tu trabajo es encontrar un montón de estados $\phi_n$ que son estados propios del $\hat{Q}$ operador. es decir, un montón de estados $\phi_n$ que satisfagan: $$\hat{Q} \phi_n = q_n \phi_n,\tag{1}\label{1}$$ para algunos números $q_n$ . Puedes hacerlo recordando que puedes expresar cualquier estado arbitrario $\phi$ como una combinación lineal de los estados propios de energía $\psi_m$ (ya que forman una base). Se puede empezar suponiendo el siguiente ansatz $$\phi = \sum_m c_m \psi_m,$$ y ahora necesita encontrar el $c_m$ s que permiten satisfacer la ecuación ( \ref {1}). Si usted enchufa su ansatz en la ecuación, y usted obtendría: $$\hat{Q}\phi = q \phi \quad \quad \implies \quad \quad \sum_m c_m\hat{Q}\psi_m = q \sum_m c_m \psi_m.$$
En otras palabras, si sabes cómo $\hat{Q}$ actúa sobre la base propia de energía $\psi_m$ se puede resolver la ecuación anterior y encontrar los diferentes valores de $q$ que satisfagan la ecuación anterior (puede haber -y en este caso, habrá- más de una). A partir de ahí, se pueden encontrar fácilmente los diferentes $c_m$ s también. Esto debería ser sencillo.
Pista: Recuerde que los Estados $\psi_m$ son linealmente independientes .
chiappette
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Una forma de ver el problema que puede aclarar tu confusión es considerarlo en forma de matriz.
No es difícil ver que en la base de los estados propios hamiltonianos $\psi_i$ es decir $\psi_1=(1,0,0,\dots)^T$ , $\psi_2=(0,1,0,\dots)^T$ , $\psi_3=(0,0,1,\dots)^T$ y así sucesivamente, el operador $Q$ está representada por la matriz $$ [Q] = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \end{pmatrix} $$ ¿Tienes alguna idea de cómo encontrar los vectores y valores propios de esta matriz?
