Ayuda para comprender una derivada parcial $\frac{\partial\pi}{\partial C}$

Question

Este es uno de mis primeros problemas que involucran derivadas parciales y no entiendo como el parcial resulta ser $\frac{1}{d}$ dado que $\pi=\frac{C}{d}$

Tengo que encontrar:

$\frac{\partial\pi}{\partial C}$ y $\frac{\partial\pi}{\partial d}$

Y no veo cómo podrían llegar a ser otra cosa que $0$ desde entonces, según tengo entendido, $C$ y $d$ se tratan como constantes dependiendo de la derivada que esté tomando.

Answer 1

Como ves $\pi$ es una función de dos variables $C$ y $d$ . En notación común $$\pi(C,d)=\frac{C}{d}$$ que es como $f(x,y)$ en la mayoría de los problemas. Supongamos ahora que alguien te pide "que tomes la derivada de la función $\pi$ ". Pregunta con naturalidad: "Vale, pero con respecto a qué variable, $C$ ou $d$ ?". "Aha, debería haberlo especificado", dice y continúa, "con respecto digamos a la variable $C$ ". Entonces escribiendo $$(\pi)'=\left(\frac{C}{d}\right)$$ no indica si se toma la derivada con respecto a $C$ o con respecto a $d$ . Este problema se supera cuando utilizamos la notación $$\frac{\partial \pi}{\partial C}$$ Ahora, piensa que $C$ es la variable $x$ y tomar la derivada de la función con respecto a $C$ tratando la otra variable, es decir $d$ ¡como constante! Es decir $$\frac{\partial \pi}{\partial C}=\frac{1}{d}\cdot\frac{\partial}{\partial C}(C)=\frac{1}{d}\cdot1=\frac{1}{d}$$ Del mismo modo $$\frac{\partial \pi}{\partial d}=C\frac{\partial}{\partial d}\left(\frac{1}{d}\right)=C\cdot\frac{-1}{d^2}=-\frac{C}{d^2}$$

Answer 2

D(pi)/dC = 1/d porque C/d = C*(1/d) y d es fijo. Del mismo modo, d(pi)/dd = -C/d^2 porque C es fijo.