¿Existe algún grupo de Lie conexo soluble que actúe transitivamente sobre la esfera $\mathbb S^2$ ?
Respuesta
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La respuesta es no. De hecho, probaré más:
Teorema. Supongamos que $G\times M\to M$ es una acción transitiva continua de un grupo de Lie conexo, donde $M$ es cualquier colector no esférico (la cubierta universal no es contractible). Entonces $G$ no puede resolverse.
Prueba. Elige $x\in M$ y que $H<G$ denota el estabilizador de $x$ en $G$ es un subgrupo cerrado de $G$ ; necesariamente un subgrupo de Lie. Entonces el mapa orbital $g\mapsto gx$ define una biyección continua $G/H\to M$ . Esta biyección es en realidad un homeomorfismo. (Esto se deduce del hecho de que $G/H$ es una manifold, pero es cierto en mayor generalidad de espacios topológicos metrizables y acciones de grupo localmente compactas). Por lo tanto, podemos identificar $M$ con la base de un principal $H$ -paquete $G\to M$ (con fibras homeomorfas a $H$ ). Ahora, apliquemos la secuencia exacta larga de grupos de homotopía a este haz: $$ ...\to \pi_{i}(H)\to \pi_i(G)\to \pi_i(M)\to \pi_{i-1}(H) \to ... $$ Si $G$ fuera un grupo de Lie soluble, tendríamos $\pi_k(G)=0$ para todos $k\ge 2$ (esto es un corolario del teorema de Malcev, 1945). Dado que $H$ es también un subgrupo soluble, tenemos $\pi_i(G)=\pi_{i-1}(H)=0$ , $i\ge 3$ .
Ahora bien, si $M=S^2$ como en su pregunta, concluiríamos de esto que $\pi_3(M)=0$ . Pero $\pi_3(S^2)\cong {\mathbb Z}$ . Una contradicción.
En términos más generales, puesto que $M$ no es asférica, $\pi_i(M)\ne 0$ para algunos $i\ge 3$ Ver aquí . De nuevo obtenemos una contradicción. qed
