Tengo algunos problemas, con la convergencia de esta sucesión definida recursivamente. Es claro que a es acotado. Pero es convergente? ¿Cómo puedo comprobar la convergencia?
$$ a_0 = a_1 = 1 $$
$$ a_n = a_{a_{n - 1} } + a_{n - a_{n - 1} } $$
¿Cómo puedo comprobar que la secuencia de $\frac{a_n}{n}$ converge? He intentado pero no soy capaz de hacerlo.
En el interés de enseñar a un hombre a pescar: Google "Conway $10,000 secuencia". Descubrir mathworld página. Buscar en la bibliografía. Referencia principal parece ser una de 1988 hablar por Conway en los Laboratorios Bell. Búsqueda en youtube, google y los Bell Labs sitio web para ver si de que hablar ha sido colocado en línea. Si esto fuera una cuestión de vital importancia, el siguiente paso será averiguar quién de e-mail en los Laboratorios Bell de solicitar el acceso, pero yo no lo hice.
Volver a la Mathworld bibliografía y aviso de la Kubo-Vakil de papel.
En Conway recursiva secuencia T. Kubo y R. Vakil, Discreto Matemáticas, Tomo 152, Temas 1-3, 20 De Mayo De 1996, Páginas 225-252
Es en un diario importante, su título sugiere que va a proporcionar una buena encuesta de material conocido, y el segundo autor es conocido por la clara exposición.
En este punto, mi vida es fácil porque mi empleador (Universidad de Michigan) tiene una suscripción a la Matemática Discreta, así que me voy a descargar el documento. Si esto no fuera posible, mis próximos pasos sería comprobar la del autor de las páginas web (sin suerte) y, a continuación, ir en persona a un lugar cercano, la biblioteca de la universidad para ver si se suscriben.
Tu pregunta está respondida en la Sección 8.3.
EDIT: La siguiente es la Mathscinet comentario escrito por Tom Brown:
La recurrencia $$a(n)=a(a(n−1))+a(n−a(n−1)),a(1)=a(2)=1$$ define una secuencia de enteros, publicitados por Conway y Mallows, con increíbles propiedades combinatorias que claman por la explicación. Damos un paso hacia la desintegración de este misterio, demostrando que la $a(n)$ puede (y debe) ser visto como un simple `compresión' operación sobre conjuntos finitos. Esto le da una combinatoria caracterización de $a(n)$, de la que uno puede leer en la mayoría de sus propiedades. Vamos a comprobar una hipótesis de Mallows en la forma asintótica de $a(n)$, y dar un algoritmo para la resolución de Conway reto problema acerca de la epsilontics de $(a(n)/n−1/2)$. A lo largo del camino nos encontramos con algunas hermosas construcciones que implican los árboles, de forma recursiva la expansión de finito de cadenas, y refinamientos del triángulo de Pascal. Newman generalizaciones de $a(n)$ pueden ser analizados de la misma manera, y los resultados obtenidos apuntan a relaciones posibles con los Conway de la teoría de juegos".
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