Comprender la constante de tiempo rc

Question

Entiendo que si pones una resistencia en serie con un condensador y añades tensión continua, el condensador tardará más en cargarse.

¿Cómo puedo calcular el tiempo que tarda el condensador en cargarse/descargarse con la capacidad y la resistencia dadas y cómo puedo calcular la tensión en un momento dado?

Answer 1

La tensión a través de una capacitancia \$C\$ a la vez \$t\$ que inicialmente estaba a un voltaje \$V_0\$ que se descarga a través de una resistencia \$R\$ viene dado por:

$$ V(t) = V_0 e^{\frac{-t}{RC}} $$

Carga de un condensador con una batería de tensión \$V_b\$ a través de una resistencia en serie es similar:

$$ V(t) = V_b(1-e^{\frac{-t}{RC}}) $$

De estas ecuaciones se deduce que, a medida que pasa el tiempo, la tensión del condensador se aproxima a su valor final ( \$0V\$ para la descarga, \$V_b\$ para la carga) pero nunca llega a alcanzarlo. Por lo tanto, si quieres saber cuánto tarda en (des)cargarse, primero tienes que decidir en qué punto llamar al condensador (des)cargado.

Supongamos que queremos definir como "dado de alta" el 99% de los casos. ¿Cuánto tardaremos? Digamos que tenemos un condensador cargado a \$1V\$ ; cuando se "descargue" estará en \$0.01V\$ . Podemos sustituir estos valores en la primera ecuación y resolver para \$t\$ :

$$ 0.01V = 1V\cdot e^{\frac{-t}{RC}} $$

$$ \require{cancel} \frac{0.01\cancel{V}}{\cancel{1V}} = e^{\frac{-t}{RC}}$$

$$ ln(0.01) = \frac{-t}{RC} $$

$$ -ln(0.01) RC = t $$

$$ 4.6 RC \approx t $$

\$RC\$ es la constante de tiempo, así que esto nos dice que después de unas 4,6 constantes de tiempo, el condensador estará descargado al 99%. Lo mismo ocurre con la carga.