Estoy teniendo un debate sobre la Aritmética de Peano y me dijeron que en realidad no hay nada en la Aritmética de Peano que impida definir un elemento a con S^k(a)=a.
Sólo soy capaz de deducir que a no es S^j(0) para cualquier j, pero no veo cómo eso es un problema para introducir a en primer lugar.
Si realmente es posible introducir esos elementos, tienen algunas propiedades interesantes.
Respuestas
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Para demostrar $\lnot \exists a S(a)=a$ apelas a la hipótesis de la inducción. Tenemos $\lnot S(0)=0$ Entonces suponiendo $\lnot S(n)=n$ tenemos $\lnot S(S(n))=S(n)$ De ello se deduce $\forall n \lnot S(n)=n$ Esto es típico de los elementos no estándar. Cualquier propiedad compartida por todos los elementos estándar (o incluso todos los suficientemente grandes) es compartida por todos los no estándar. Este estilo de prueba demuestra que.
universalset
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Quizá merezca la pena ampliar el comentario de André Nicolas. Para cualquier número natural (estándar) $k>0$ se puede demostrar en aritmética de Peano que no hay ningún elemento $a$ tal que $S^k(a) = a$ . ¿Por qué? Ciertamente, esto es cierto para $a=0$ ya que $0$ no es un sucesor, y como sucesor es inyectivo, si $S^k(b) \neq b$ entonces $S^k(S(b)) = S(S^k(b)) \neq S(b)$ por lo que tenemos una prueba de que si $b$ satisface $\phi(x) = (x \neq S^k(x))$ entonces $S(b)$ también lo hace. Esto, por supuesto, es exactamente lo que se necesita para aplicar el axioma de inducción para $\phi$ y por lo tanto no existe tal $a$ con $S^k(a) = a$ .
Sin embargo, existen muchos modelos no estándar de Aritmética de Peano; en tales modelos hay elementos "inalcanzables", es decir, elementos $a$ tal que $a$ no es $S^n(0)$ para cualquier número natural (estándar) $n$ .
